Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1 - HocVienKhoiNghiep.Edu.Vn
Rate this post
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có 1 số ít dạng toán mà tất cả chúng ta thường gặp như : Viết phương trình tiếp tiếp tại 1 điểm ( tiếp điểm ) ; Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm ; Viết phương trình tiếp tuyến khi biết thông số góc k, …

I. Lý thuyết cần nhớ để viết phương trình tiếp tuyến

Bạn đang đọc: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1

 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: 

– Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 là thông số góc của tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số tai điểm M ( x0 ; y0 ). – Khi đó phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) là : y = y ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 – Nguyên tắc chung để viết được phương trình tiếp tuyến ( PTTT ) là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0.

II. Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến

° Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến TẠI 1 ĐIỂM (biết Tiếp Điểm)

* Phương pháp:

– Bài toán : Giả sử cần viết PTTT của đồ thị ( C ) : y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 )

+ Bước 1: Tính đạo hàm y’=f'(x) ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến k=y'(x0)

+ Bước 2: PTTT của đồ thị tại điểm M(x0;y0) có dạng: y=y'(x0)(x-x0)+y0

* Lưu ý, một số bài toán đưa về dạng này như:

– Nếu đề cho ( hoành độ tiếp điểm x0 ) thì tìm y0 bằng cách thế vào hàm số bắt đầu, tức là : y0 = f ( x0 ) – Nếu đề cho ( tung độ tiếp điểm y0 ) thì tìm x0 bằng cách thế vào hàm số khởi đầu, tức là : f ( x0 ) = y0 – Nếu đề nhu yếu viết phương trình tiếp tuyến tại những giao điểm của đồ thị ( C ) : y = f ( x ) và đường đường thẳng ( d ) : y = ax + b. Khi đó, những hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa ( d ) và ( C ). – Trục hoành Ox : y = 0 ; trục tung Oy : x = 0.

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+2×2 tại điểm M(-1;1)

° Lời giải:

– Ta có : y ‘ = 3×2 + 4 x nên suy ra y ‘ ( x0 ) = y ‘ ( – 1 ) = 3. ( – 1 ) 2 + 4. ( – 1 ) = – 1 – Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( – 1 ; 1 ) là : y = y ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) + y ( x0 ) ⇔ y = ( – 1 ). ( x – ( – 1 ) ) + 1 = – x – Vậy PTTT của ( C ) tại điểm M ( – 1 ; 1 ) là : y = – x.

* Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị (C): 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1

° Lời giải:

– Ta có : x0 = – 1 ⇒ y0 = y ( – 1 ) = 1/2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M của ( C ) là : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1

* Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y =x4 – 2×2.

* Lời giải:

– Ta có y ‘ = 4×3 – 4 x = 4 x ( x2 – 1 ) – Giao điểm của đồ thị hàm số ( C ) với trục hoành ( Ox ) là : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Như vậy, giờ bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị thàm số tại 1 điểm. – Với x0 = 0 ⇒ y0 = 0 và k = y ‘ ( x0 ) = 0 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ ( 0 ; 0 ) có thông số góc k = 0 là : y = 0. – VớiViết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ ( √ 2 ; 0 ) có thông số góc k = 4 √ 2 là : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– VớiViết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ ( – √ 2 ; 0 ) có thông số góc k = – 4 √ 2 là : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị ( C ) với trục hoành là : y = 0 ; y = 4 √ 2 x – 8 và y = – 4 √ 2 x – 8 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1

° Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ĐI QUA 1 ĐIỂM

* Phương pháp:

– Bài toán : Giả sử cần viết PTTT của đồ thị hàm số ( C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( xA ; yA )

* Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị

+ Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA;yA) có hệ số góc k có dạng:

d : y = k ( x-xA ) + yA ( * )

+ Bước 2: Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1

+ Bước 3: Giải hệ trên, tìm được x từ đó tìm được k và thế vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

* Cách 2: Sử dụng PTTT tại 1 điểm

+ Bước 1: Gọi M(x0;f(x0)) là tiếp điểm, tính hệ số góc tiếp tuyến k=f'(x0) theo x0.

+ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) (**)

Vì điểm A ( xA ; yA ) ∈ ( d ) nên yA = f ‘ ( x0 ) ( xA-x0 ) + f ( x0 ) giải phương trình này tìm được x0.

+ Bước 3: Thay x0 tìm được vào phương trình (**) ta được PTTT cần viết.

* Ví dụ 1: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C): y = -4×3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1;2).

° Lời giải:

– Ta có : y ‘ = – 12×2 + 3 – Đường thẳng d đi qua A ( – 1 ; 2 ) có thông số góc k có phương trình là : y = k ( x + 1 ) + 2 – Đường thẳng ( d ) là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1⇔ x = – 1 hoặc x = 1/2. • Với x = – 1 ⇒ k = – 12. ( – 1 ) 2 + 3 = – 9. Phương trình tiếp tuyến là : y = – 9 x – 7 • Với x = 1/2 ⇒ k = – 12. ( 50% ) 2 + 3 = 0. Phương trình tiếp tuyến là : y = 2 • Vậy đồ thị ( C ) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A ( – 1 ; 2 ) là : y = – 9 x – 7 và y = 2.

* Ví dụ 2: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C): 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1

° Lời giải:

– Điều kiện : x ≠ 1 ; Ta có :Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Đường thẳng ( d ) đi qua A ( – 1 ; 4 ) có thông số góc k có phương trình : y = k ( x + 1 ) + 4 – Đường thẳng ( d ) là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1

Xem thêm: Công thức tính công suất dễ hiểu nhất 2022

– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Ta thấy x = – 1 ( loại ), x = – 4 ( nhận ) – Với x = – 4 ⇒Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1

° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết Hệ số góc k

* Phương pháp:

– Bài toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của (d) với đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

+ Bước 1: Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm và tính y’=f'(x)

+ Bước 2: Khi đó,

– Hệ số góc của tiếp tuyến là : k = f ‘ ( x0 ) – Giải phương trình k = f ‘ ( x0 ) này ta tìm được x0, từ đó tìm được y0.

+ Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta viết được phương trình tiếp tuyến tương ứng:

( d ) : y = y ‘ 0 ( x-x0 ) + y0

* Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

• Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng, ví dụ, d//Δ: y=ax+b ⇒k=a. Sau khi lập được PTTT thì cần kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng Δ hay không? nếu trùng thì loại kết quả đó.

• Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng, ví dụ, d⊥Δ: y=ax+b ⇒k.a=-1 ⇒k=-1/a.

• Tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 góc α thì k=±tanα.

* Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y=ax+b một góc α, khi đó:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.

° Lời giải:

– Ta có : y ‘ = 3×2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M ( x0 ; y0 ) ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là : k = y ‘ ( x0 ) ⇔Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Với x0 = 2 ⇒ y0 = ( 2 ) 3 – 3. ( 2 ) + 2 = 4 ta có tiếp điểm M1 ( 2 ; 4 ) Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1 :Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Với x0 = – 2 ⇒ y0 = ( – 2 ) 3 – 3. ( – 2 ) + 2 = 0 ta có tiếp điểm M2 ( – 2 ; 0 ) Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2 :Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Kết luận : Vậy đồ thị hàm số ( C ) có 2 tiếp tuyến có thông số góc bằng 9 là : ( d1 ) : y = 9 x – 14 và ( d2 ) : y = 9 x + 18.

* Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1

° Lời giải:

– Ta có :Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M ( x0 ; y0 ), khi đó thông số góc của tiếp tuyến là :Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ : y = 3 x + 2 nên ta có : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1• Với x0 = – 1 thìViết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Phương trình tiếp tuyến tại M1 là ( d1 ) : y = 3 ( x + 1 ) – 1 ⇔ y = 3 x + 2 Đối chiếu với phương trình đường Δ ta thấy d1 ≡ Δ nên loại. • Với x0 = – 3 thìViết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Phương trình tiếp tuyến tại M2 là ( d2 ) : y = 3 ( x + 3 ) + 5 ⇔ y = 3 x + 14 • Vậy đồ thị ( C ) có 1 tiếp tuyến / / với Δ là ( d2 ) : y = 3 x + 14

* Ví dụ 3: Cho hàm số (C): y = -x4 – x2 + 6. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (Δ):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1

* Lời giải:

– Gọi đườn thẳng ( d ) có thông số góc k là tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với ( Δ ) có dạng : y = kx + b – Vì tiếp tuyến ( d ) vuông góc với đường thẳng ( Δ ) :Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Để ( d ) tiếp xúc với ( C ) thì hệ sau phải có nghiệm : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1⇒ phương trình tiếp tuyến ( d ) của ( C ) vuông góc với ( Δ ) là : y = – 6 x + 10. * Cách giải khác : – Ta có thông số góc của tiếp tuyến ( d ) với đồ thị ( C ) là y ‘ = – 4×3 – 2 x. – Vì tiếp tuyến ( d ) vuông góc với ( Δ ) :Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Với x = 1 suy ra y = – 14 – 12 + 6 = 4 và y ‘ ( 1 ) = – 4.13 – 2.1 = – 6. ⇒ Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( 1 ; 4 ) là : y = – 6 ( x – 1 ) + 4 = – 6 x + 10.

° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến có chứa tham số m

* Phương pháp:

– Vận dụng giải pháp giải một trong những dạng toán ở trên sau đó giải và biện luận để tìm giá trị của tham số thỏa nhu yếu bài toán.

* Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3×2 có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – 1.

° Lời giải:

– TXĐ : D = R – Ta có : y ‘ = 3×2 – 6 x – Điểm M có hoành độ x0 = 1 ⇒Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Phương trình tiếp tuyến ( d ) tại điểm M ( 1 ; – 2 ) của ( C ) có dạng : y – y0 = y ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) ⇔ y + 2 = ( 3.12 – 6.1 ) ( x – 1 ) ⇔ y = – 3 x + 1 – Khi đó để ( d ) / / ΔViết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Khi đó pt đường thẳng Δ : y = – 3 x + 3 – Vậy, với m = – 1 thì tiếp tuyến ( d ) của ( C ) tại M ( 1 ; – 2 ) tuy nhiên sóng với Δ.

* Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m + 2 có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của (C) tại A vuông góc với đường thẳng Δ: x – 4y + 1 = 0.

° Lời giải:

– TXĐ : D = R – Ta có : y ‘ = 4×3 – 4 ( m + 1 ) x – Gọi ( d ) là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A, khi đó thông số góc của ( d ) là : k = y ‘ ( 1 ) = 4 – 4 ( m + 1 ) = – 4 m – Theo đề ra :Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x mũ 5 trừ x tại điểm có hoành độ x = 1– Do đó : d ⊥ Δ ⇔ k = – 4 ⇔ – 4 m = – 4 ⇔ m = 1

Xem thêm: Công thức tính thể tích khối nón chuẩn kèm ví dụ dễ hiểu

Nội dung bài viết đã mạng lưới hệ thống lại một số ít dạng toán viết phương trình tiếp tuyến ở trên ( như cách viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm ; phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm ; viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành, viết phương trình tiếp tuyến song song hay vuông góc với 1 đường thẳng, biết thông số góc k, … Hy vọng với nội dung này thì việc giải những bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sẽ không gây khó dễ được những em, giúp những em thuận tiện có được điểm tối đa khi gặp trong những kỳ thi, những em chỉ cần tập trung chuyên sâu và cẩn trọng là có điểm từ bài toán này.

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập

Bình luận