Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Bài giảng: Các dạng bài về vị trí tương đối của hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Vị trí tương đối giữa đường thẳng d (đi qua M0 và có vectơ chỉ phương u→) và đường thẳng d’ (đi qua M’0 và có vectơ chỉ phương u’→)

– d và d’ cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔

– d ≡ d’⇔

– d // d’ ⇔

– d và d’ cắt nhau: ⇔

– d và d’ chéo nhau ⇔

–

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Xét vị trí tương đối của những cặp đường thẳng d và d ’

A. Song song
B. Trùng nhau
C. Cắt nhau
D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có
) và đi qua M0 (-1;1;-2)

Đường thẳng d’
và đi qua M’0(1;5;4)

Ta có :

Vậy d và d ’ cắt nhau ..
Chọn C .

Quảng cáo

Ví dụ: 2

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau :

A. Cắt nhau
B. Trùng nhau
C. Chéo nhau
D. Song song

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương
và đi qua M0 (0;1;2)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương

Nên hai đường thẳng d và d ’ song song .
Chọn D .

Ví dụ: 3

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau :

A. Trùng nhau
B. Cắt nhau
C. Song song
D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương
) và qua M0 (0;0;-1)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương
và đi qua M’0(0;9;0)

Ta có :

Vậy d và d ’ chéo nhau .
Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ: 4

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song :

A. a = 2
B. a = – 3
C. a = – 2
D. a = 4

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là

Để d // d’ thì

Khi đó đường thẳng d ’ đi qua điểm N ( 1 ; 2 ; 2 ) và điểm N không thuộc d .
Vậy d / / d ’ khi và chỉ khi a = 2
Chọn A.

Ví dụ: 5

Xét vị trí tương đối của d và d’ biết:

và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P) : 2x – 3y – 3z – 9 = 0 và
(P’): x – 2y + z + 3 = 0

A. Trùng nhau
B.Song tuy nhiên
C. Cắt nhau
D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải

– Trước hết viết phương trĩnh đường thẳng d ’
M ’ ( x ; y ; z ) thuộc d ’ có tọa độ thỏa mãn nhu cầu hệ :

Chọn z = 0 => 1 điểm M ’ thuộc d là ( 27 ; 15 ; 0 )
Vectơ chỉ phương của d ’ là

– đường thẳng d có vecto chỉ phương

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

. Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d1 cắt

d2?

A. m = 0
B. m = 1
C. m = – 2
D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d1: đi qua A(1; 0; 1) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d2: đi qua B(0; -2; -m) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

+ để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau thì :

⇔ – 3.( -1) – 1( – 2) + 5( – m- 1) =0
⇔ 3+ 2- 5m- 5= 0 ⇔ 5m= 0 ⇔ m= 0

Chọn A.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Δ cắt d và Δ vuông góc với d .
B. Δ và d chéo nhau, Δ vuông góc với d .
C. Δ cắt d và Δ không vuông góc với d .
D. Δ và d chéo nhưng không vuông góc .

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A( 1; -1; 1) và có vecto chỉ phương
.

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm B(1; 1; -1) có véctơ chỉ phương là
.

+ Ta có

=> Hai vecto
vuông góc với nhau.

suy ra đường thẳng Δ vuông góc với d.

+ Mặt khác

Suy ra Δ và d chéo nhau.

Chọn B.

Ví dụ: 8

Cho hai đường thẳng
. Tìm m để hai đường thẳng đã cho chéo nhau?

A. m ≠ – 1
B. m ≠ – 10
C. m ≠ 10
D. m ≠ 12

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d1 đi qua A( 2; 0;-1) và có vecto chỉ phương
.

+ Đường thẳng d2 đi qua B( 0; m; – 1) và có vecto chỉ phương

+ Để hai đường thẳng đã cho chéo nhau khi và chỉ khi:

⇔ 10+ m ≠ 0 hay m ≠ -10

Chọn B .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho đường thẳng

. Chọn khẳng định đúng?

A. d1 ; d2 chéo nhau .
B. d1 ; d2cắt nhau .
C. d1 ; d2 vuông góc với nhau .
D.d 1 ; d2 chéo nhau và vuông góc với nhau .
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d1 đi qua A( 0; -1; 0); có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d2 đi qua B(0; 1; 1); có vecto chỉ phương

Ta có

=> Hai vecto
vuông góc với nhau.

suy ra đường thẳng d1 vuông góc với d2.

+ Mặt khác

Suy ra d1 và d2 chéo nhau .
Chọn D .

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. song song .
B. trùng nhau .
C. cắt nhau .
D. chéo nhau .
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d vecto chỉ phương
và đi qua M( 1; 7; 3)

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương
và đi qua M’( 6; -1; -2).

Từ đó ta có

Lại có

Suy ra d cắt d ’ .
Chọn C .

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. song song .
B. trùng nhau .
C. chéo nhau .
D. cắt nhau .
Hiển thị lời giải

Đường thẳng d có VTCP
và đi qua M(1;2; 0)

Đường thẳng d’ có VTCP
và đi qua M’(0;-5; 4)

Từ đó ta có :

Lại có

Suy ra d chéo nhau với d ’ .
Chọn C .

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

khi nói về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên?

A. song song .
B. trùng nhau .
C. chéo nhau .
D. cắt nhau .
Hiển thị lời giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương
và đi qua M( 2; 0; -1)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương
và đi qua M’( 7; 2;0).

Từ đó ta có

Lại có

Suy ra d song song với d ’ .
Chọn A.

Câu 5:

Hai đường thẳng
có vị trí tương đối là:

A. trùng nhau .
B. song song .
C. chéo nhau .
D. cắt nhau .
Hiển thị lời giải

Đường thẳng d có VTCP
và đi qua M(-1; 2; 3)

Đường thẳng d’ có VTCP
và đi qua M’ (7; 6; 5).

Từ đó ta có

Suy ra

Suy ra d trùng với d ’ .
Chọn A .

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

. Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d1 cắt

d2?
A. m = 0
B. m = 1
C. m = – 2
D.Đáp án khác
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d1: đi qua A(0; -2; 0) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d2: đi qua B( m; -2; 0) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

+ để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau thì:

⇔ 7.m + 5.0+ 3.0= 0
⇔ 7m= 0 ⇔ m= 0

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Δ cắt d và Δ vuông góc với d .
B. Δ và d chéo nhau, Δ vuông góc với d .
C. Δ cắt d và Δ không vuông góc với d .
D. Δ và d chéo nhưng không vuông góc .
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;1; 1) và có vecto chỉ phương
.

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm B( – 2;0; -1) có véctơ chỉ phương là
.

+ Ta có

suy ra đường thẳng Δ không vuông góc với d.

+ Mặt khác

Suy ra Δ và d chéo nhau .
Chọn D.

Câu 8:

Cho hai đường thẳng
. Tìm m để hai đường thẳng đã cho chéo nhau?

A. m ≠ – 15
B. m ≠ – 10
C. m ≠ 10
D. m ≠ 12
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d1 đi qua A( 0; m;-1) và có vecto chỉ phương
.

+ Đường thẳng d2 đi qua B( 1; 0; 2) và có vecto chỉ phương

+ Để hai đường thẳng đã cho chéo nhau khi và chỉ khi:

⇔ 15+ m ≠ 0 hay m ≠ -15

Chọn A .

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập