Vectơ trong không gian Sự đồng phẳng của các vectơ - HocVienKhoiNghiep.Edu.Vn
Rate this post

Vectơ trong không gian

A. CÁC KIÊN THỨC CẦN NHỚ

I. CÁC ĐỊNH NGHĨA

1. Vectơ, giá và độ dài của vectơ

  • Vectơ trong khoảng trống là một đoạn thẳng có hướng .

Kí hiệu chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là .

Bạn đang đọc: Vectơ trong không gian Sự đồng phẳng của các vectơ

Nội dung chính

  • Vectơ trong không gian
  • A. CÁC KIÊN THỨC CẦN NHỚ
  • B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
  • C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
  • Video liên quan
  • Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ngược lại hai vectơ có giá cắt nhau hoặc chéo nhau được gọi là hai vectơ không cùng phương. Hai vectơ cùng phương thì hoàn toàn có thể cùng hướng hay ngược hướng .
  • Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị chức năng. Ta kíhiệu độ dài của vectơ là | |. Như vậy I | = AB .

2. Hai vectơ bằng nhau, vectơ không

  • Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Khi đó ta kí hiệu = .
  • Vectơ không là một vectơ đặc biệt quan trọng có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, nghĩa là với mọi điểm A tuỳ ý ta có = và khi đó mọi đường thẳng đi qua điểm A đều chứa vectơ. Do đó ta quy ước mọi vectơ đều bằng nhau, có độ dài bằng 0 và cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. Do đó ta viết= với mọi điểm A, B tuỳ ý.

II. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ VECTƠ

1 .Định nghĩa

  • Cho hai vectơ và. Trong khoảng trống lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ =, =. Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ và, đồng thời được kí hiệu = + = + .
  • Vectơ là vectơ đối của nếu | | = | | và, ngược hướng với nhau, kí hiệu = .
  • = + ( – ) .

2. Tính chất

  • + = + ( đặc thù giao hoán )
  • ( + ) + = + ( + ) ( đặc thù tích hợp )
  • + = + = ( đặc thù của vectơ )
  • + ( – ) = + = .

3. Các quy tắc cần nhớ khi thống kê giám sát

a ) Quy tắc ba điểm

Với ba điểm A, B, C bất kể ta có :
+ =
=
= + ( – ) = + = + ( h. 3.1 ) .
b ) Quy tắc hình bình hành
Với hình bình hành ABCD ta có :
= + ( h. 3.2 ) .
c ) Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp ABCD.ABCD với AB, AD, AA là ba cạnh có chung đỉnh A và AC là đường chéo ( h. 3.3 ), ta có :
= + + .
d ) Mở rộng quy tắc ba điểm
Cho n điểm bất kỳ ( h. 3.4 ) ,
ta có : + + =

III. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1. Định nghĩa. Cho số k 0 và vectơ. Tích của vectơ ã với số k là một vectơ, kí hiệu là k, cùng hướng với nếu k > 0, ngược hướng với nếu k

2. Tính chất. Với mọi vectơ, và mọi số m, n ta có :

  • m ( + ) = m + m ;
  • ( m + n ) = m + n ;
  • m ( n ) = ( mn ) ;
  • 1. = ; ( – 1 ). = ;
  • 0. = ; k. =. ,

IV. ĐIỂU KIỆN ĐỔNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về sợ đồng phẳng của ba vecto trong không gian

Cho ba vectơ, , đều khác trong khoảng trống. Từ một điểm o bất kể ta vẽ =, =, =. Khi đó xảy ra hai trường hợp : Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong khoảng trống

  • Trường hợp những đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, ta nói ba vectơ, , không đồng phẳng .
  • Trường hợp những đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ, , đồng phẳng .

2. Định nghĩa

Trong khoảng trống, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu những giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng .

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Định lí 1. Trong không gian cho haivectơ không cùng phương và vàmột vectơ. Khi đó ba vectơ, , đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp sốm, n sao cho = m + n. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất (h.3.5).

4. Phân tích (biểu thị) một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

Định lí 2

Cho, , là ba vectơ không đồng phẳng. Với mọi vectơ trong khoảng trống ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho = m + n + p. Ngoài ra bộ ba số m, n, p là duy nhất .
Cụ thể =, =, =, = ( h. 3.6 )
và = + + với = m, = n, = p .
Khi đó : = m + n + p .

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Xác định những yếu tố của vectơ

1. Phương pháp giải

a ) Dựa vào định nghĩa những yếu tố của vectơ ;
b ) Dựa vào những đặc thù hình học của hình đã cho .

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC. Hãy nêu tên những vectơ bằng nhau có điểm đầu và điểm cuối là những đỉnh của lăng trụ .

Giải

Theo đặc thù của hình lăng trụ ta suy ra :
=, =, =
=, =, =
= = = = =
=, =, =
Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Hãy kể tên những vectơ có điểm đầu và điểm cuối là những đỉnh của hình hộp lần lượt bằng những vectơ, và .

Giải

Theo đặc thù của hình hộp ( h. 3.8 ) ta có : = = =
= = =
=
Ta cũng có :
= = = – USD latex overrightarrow { CD } $
= = =

=, v.v

Xem thêm: Ví dụ quần thể sinh vật là gì

Vấn đề 2

Chứng minh cốc đẳng thức về vectơ

1. Phương pháp giải

a ) Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến hóa vế này thành vế kia và ngược lại .
b ) Sử dụng những đặc thù của những phép toán về vectơ và những đặc thù hình học của hình đã cho .

2. Ví dụ

Vi dụ 1. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng + + = .

Giải

Theo đặc thù của hình hộp :
+ + = + + = .
Dựa vào quy tắc hình hộp ta hoàn toàn có thể viết ngay hiệu quả :
+ + = ( h. 3.9 ) .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng

+ = +

Giải

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD ( h. 3.10 ) .
Ta có :
+ = 2 ( 1 )
và + = 2 ( 2 )
So sánh ( 1 ) và ( 2 ) ta suy ra + = + .

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng

+ = + .

Giải

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD ( h. 3.11 ) .
Ta có : | | = | | = | | = | | .
= = + + 2 ..
= = + + 2 .
+ = 2 + + + 2 ( + ) .
Mà + = nên + = 2 + +
Tương tự ta có : + = 2 + + .
Từ đó ta suy ra : + = + .

Ví dụ 4. Cho đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm C sao cho

Giải

Vấn đề 3

Chứng minh ba vectơ, , đồng phẳng

1. Phương pháp giải

a ) Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ những vectơ, , có giá song song với một mặt phẳng .
b ) Ba vectơ, , đồng phẳng có cặp số m, n duy nhất sao cho = m + n, trong đó và là hai vectơ không cùng phương .

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho = 3 và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho = 3. Chứng minh rằng ba vectơ, , đồng phẳng.

Giải

Theo giả thiết = 3
và = 3 ( h. 3.13 ) .
Mặt khác = + + ( 1 )
và = + +

3 = 3 + 3 + 3 (2)

Cộng đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) với nhau vế theo vế, ta có
Hệ thức trên chứng tỏ rằng ba vectơ, , đồng phẳng .
Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai. đường chéo của hình bình hànhBCGF. Chứng minh rằng ba vectơ, , đồng phẳng .

Giải

Vectơ có giá thuộc mặt phẳng ( ABCD ). Vectơ có giá song song với đường thẳng AC thuộc mặt phẳng ( ABCD ) .
Vectơ có giá song song với đường thẳng BC thuộc mặt phẳng ( ABCD ). Vậy bavectơ, , đồng phẳng ( h. 3.14 ) .
Cách khác .
Ta có = + = + ( )
= 2 ( vì = 2 )
Vậy = 2 2. Hệ thức này chứng tỏ rằng ba vectơ, , đồng phẳng .

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.1.Cho hình lập phương ABCD cạnh a. Gọi o và O theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và ABCD.

a ) Hãy màn biểu diễn những vectơ, theo những vectơ có điểm đầu và điểm cuối là những đỉnh của hình lập phương đã cho .
b ) Chứng minh rằng + + =
Xem đáp án tại đây .

3.2.Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là :

+ = + .
Xem đáp án tại đây .

3.3.Cho tứ diện Gọi p và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho

Chứng minh rằng ba vectơ, , đồng phẳng .
Xem đáp án tại đây .

3.4.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có độ dài cạnh bên bằng a. Trên các cạnh bên ẠA, BB, CC ta lấy tương ứng các điểm M, N, p sao cho AM + BN + CP = a.

Chứng minh rằng mặt phẳng ( MNP ) luôn luôn đi qua một điểm cố định và thắt chặt .
Xem đáp án tại đây .

3.5.Trong không gian cho hai hình bình hành ABCD và ABCD chỉ có chung nhau một điểm A. Chứng minh rằng các vectơ, , đồng phẳng.

Xem đáp án tại đây .

3.6.Trên mặt phẳng (à) cho hình bình hành. về một phía đối với mặt phẳng (à) ta dựng hìnhbình hành. Trên các đoạn ta lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành .
Xem đáp án tại đây .

3.7.Cho hình hộp ABCD.ABCD có P và R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AD. Gọi P, Q, Q, R lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD, CDDC, ABCD, ADDA

a ) Chứng minh rằng + + =
b ) Chứng minh hai tam giác PQR và PQR có trọng tâm trùng nhau .

Xem đáp án tại đây.

Xem thêm: Ví dụ quần thể sinh vật là gì

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập

Bình luận