Toán lớp 9 – Hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan - HocVienKhoiNghiep.Edu.Vn
Rate this post

Chia sẻ nếu thấy tài liệu này có ích !

 

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

I – Kiến thức cần nhớ

Bạn đang đọc: Toán lớp 9 – Hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan

            1, Định nghĩa

– Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $ y = ax + b USD trong đó USD a ; b USD là những số cho trước và USD a ne 0. $
– Đặc biệt, khi USD b = 0 $ thì hàm số có dạng USD y = ax. $

2, Tính chất

– Hàm số bậc nhất USD y = ax + b , , left ( a ne 0 right ) USD xác lập với mọi giá trị của USD x in mathbb { R } $ .
– Hàm số đồng biến khi USD a > 0 USD
– Hàm số nghịch biến khi USD a             3, Đồ thị

            – Đồ thị của hàm số $y=ax+b$ $left( ane 0 right)$ là một đường thẳng:

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng USD b ; USD
+ Song song với đường thẳng USD y = ax $ khi USD b ne 0 USD
+ Trùng với đường thẳng USD y = ax $ khi USD b = 0 USD
– Chú ý : Đồ thị hàm số USD y = ax + b , , left ( a ne 0 right ) USD còn được gọi là đường thẳng USD y = ax + b USD ; USD a USD được gọi là thông số góc của đường thẳng ; USD b USD được gọi là tung độ gốc của đường thẳng .

4, Góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất và trục $Ox$

            – Gọi $alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b,,left( ane 0 right)$ và trục $Ox$.

+ Nếu $ alpha 0 USD .
+ Nếu $ alpha > { { 90 } ^ { 0 } } $ thì USD a             5, Vị trí tương đôi của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $ left ( { { d } _ { 1 } } right ) : y = { { a } _ { 1 } } x + { { b } _ { 1 } } $ và $ left ( { { d } _ { 2 } } right ) : y = { { a } _ { 2 } } x + { { b } _ { 2 } }, USD trong đó $ { { a } _ { 1 } }, , , { { a } _ { 2 } } , , ne 0 USD
– $ left ( { { d } _ { 1 } } right ) USD cắt $ left ( { { d } _ { 2 } } right ) $ $ Leftrightarrow { { a } _ { 1 } } ne { { a } _ { 2 } } $
– $ left ( { { d } _ { 1 } } right ) / / left ( { { d } _ { 2 } } right ) Leftrightarrow left { begin { align } và { { a } _ { 1 } } = { { a } _ { 2 } } và { { b } _ { 1 } } ne { { b } _ { 2 } } end { align } right. $
– $ left ( { { d } _ { 1 } } right ) , $ trùng với $ left ( { { d } _ { 2 } } right ) $ $ Leftrightarrow left { begin { align } và { { a } _ { 1 } } = { { a } _ { 2 } } và { { b } _ { 1 } } = { { b } _ { 2 } } end { align } right. $
– $ left ( { { d } _ { 1 } } right ) bot left ( { { d } _ { 2 } } right ) Leftrightarrow { { a } _ { 1 } }. { { a } _ { 2 } } = – 1 USD

II – Bài tập vận dụng

Đề bài. Cho hàm số bậc nhất $y=left( m-2 right)x+m+3,,,left( d right)$

a ) Tìm USD m USD để hàm số đồng biến .
b ) Tìm USD m USD để hàm số nghịch biến .
c ) Tìm USD m USD để $ left ( d right ) USD đi qua điểm $ A left ( 1 ; 2 right ) USD
d ) Tìm USD m USD để đồ thị hàm số song song với đường thẳng USD y = 3 x – 3 + m , , left ( { { d } _ { 1 } } right ) USD
e ) Tìm USD m USD để đồ thị hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng $ left ( { { d } _ { 2 } } right ) $ $ y = 2 x + 1 USD .
f ) Tìm USD m USD để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 .
g ) Tìm USD m USD để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 .
h ) Tìm USD m USD để đồ thị hàm số $ left ( { { d } _ { 3 } } right ) y = – x + 2 ; , , left ( { { d } _ { 4 } } right ) y = 2 x – 1 ; , left ( d right ) , y = left ( m-2 right ) x + m + 3 USD đồng quy .
i ) Tìm USD m USD biết $ left ( d right ) $ tạo với trục hoành một góc $ { { 45 } ^ { 0 } }. $
j ) Tìm USD m USD biết $ left ( d right ) $ tạo với trục hoành một góc $ { { 150 } ^ { 0 } }. $
k ) Tìm USD m USD để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $ left ( d right ) USD bằng 1 .
l ) Tìm USD m USD để $ left ( d right ) USD cắt $ Ox, , , Oy $ tạo thành tam giác có diện tích quy hoạnh bằng 2 .
m ) Chứng minh rằng với mọi giá trị của USD m USD thì đường thẳng $ left ( d right ) USD luôn đi qua một điểm cố định và thắt chặt. Tìm điểm cố định và thắt chặt đó .

Bài giải

a ) Hàm số USD y = left ( m-2 right ) x + m + 3 USD đồng biến
USD Leftrightarrow m-2 > 0 USD
USD Leftrightarrow m > 2 USD
b ) Hàm số USD y = left ( m-2 right ) x + m + 3 USD nghịch biến
USD Leftrightarrow m-2 $Leftrightarrow 1=2m+1$

Xem thêm: este – Wiktionary

USD Leftrightarrow 2 m = 0 USD
USD Leftrightarrow m = 0 USD
i )

i_1

Vì $ left ( d right ) $ tạo với trục $ Ox $ một góc $ { { 45 } ^ { 0 } } $ nên ta có : USD m-2 > 0 USD
USD Leftrightarrow m > 2 USD
Đồ thị hàm số $ left ( d right ) USD cắt $ Ox $ tại điểm $ E left ( frac { – m-3 } { m-2 } ; 0 right ) USD và cắt trục $ Oy $ tại điểm $ F left ( 0 ; , m + 3 right ) USD
Ta có góc tạo bởi $ left ( d right ) USD và trục $ Ox $ là : $ widehat { OEF } $
Ta có : $ tan widehat { OEF } = frac { OF } { OE } $
USD Rightarrow tan { { 45 } ^ { 0 } } = left | frac { m + 3 } { frac { – m-3 } { m-2 } } right | = left | m-2 right | $
USD Leftrightarrow left | m-2 right | = 1 USD
USD Leftrightarrow left [ begin { align } và m-2 = 1 và m-2 = – 1 end { align } right. $
USD Leftrightarrow left [ begin { align } và m = 3 , , , ( tm ) và m = 1 , , , ( l ) end { align } right. $
Vậy USD m = 3 USD
j )

j

Vì $ left ( d right ) $ tạo với trục $ Ox $ một góc $ { { 150 } ^ { 0 } } $ nên USD m-2 k

Gọi $ H $ là chân đường vuông góc kẻ từ $ O $ đến $ left ( d right ) USD
Khi đó khoảng cách từ $ O $ đến $ left ( d right ) USD là $ OH $
Áp dụng hệ thức lượng trong USD Delta OEF $ vuông tại USD O $, đường cao $ AH $ ta có :
USD frac { 1 } { O { { H } ^ { 2 } } } = frac { 1 } { O { { E } ^ { 2 } } } + frac { 1 } { O { { F } ^ { 2 } } } $
USD frac { 1 } { { { 1 } ^ { 1 } } } = frac { { { left ( m-2 right ) } ^ { 2 } } } { { { left ( m + 3 right ) } ^ { 2 } } } + frac { 1 } { { { left ( m + 3 right ) } ^ { 2 } } } $
USD Rightarrow { { left ( m-2 right ) } ^ { 2 } } + 1 = { { left ( m + 3 right ) } ^ { 2 } } $
USD Leftrightarrow { { m } ^ { 2 } } – 4 m + 4 + 1 = { { m } ^ { 2 } } + 6 m + 9 USD
USD Leftrightarrow 10 m = – 4 USD
USD Leftrightarrow m = – frac { 2 } { 5 } $
l ) USD { { S } _ { OEF } } = frac { 1 } { 2 } OE.OF $
USD Rightarrow OE.OF = 2 { { S } _ { OEF } } $
USD Rightarrow left | frac { – m-3 } { m-2 } right |. left | m + 3 right | = 2.2 $
USD Leftrightarrow left | frac { { { left ( m + 3 right ) } ^ { 2 } } } { m-2 } right | = 4 USD
USD Leftrightarrow left [ begin { align } và frac { { { left ( m + 3 right ) } ^ { 2 } } } { m-2 } = 4 và frac { { { left ( m + 3 right ) } ^ { 2 } } } { m-2 } = – 4 end { align } right. $ $ Leftrightarrow left [ begin { align } và { { left ( m + 3 right ) } ^ { 2 } } = 4 left ( m-2 right ) và { { left ( m + 3 right ) } ^ { 2 } } = – 4 left ( m-2 right ) end { align } right. $ $ Leftrightarrow left [ begin { align } và { { m } ^ { 2 } } + 6 m + 9 = 4 m – 8 và { { m } ^ { 2 } } + 6 m + 9 = – 4 m + 8 end { align } right. $
USD Leftrightarrow left [ begin { align } và { { m } ^ { 2 } } + 2 m + 17 = 0 , , và { { m } ^ { 2 } } + 10 m + 1 = 0 end { align } right. $ $ Leftrightarrow left [ begin { align } và m = – 5-2 sqrt { 6 } và m = – 5 + 2 sqrt { 6 } end { align } right. $ ( Phương trình tiên phong là vô nghiệm )
m ) Gọi điểm $ N left ( { { x } _ { 0 } } ; { { y } _ { 0 } } right ) USD là điểm cố định và thắt chặt mà đường thẳng $ left ( d right ) USD luôn đi qua với mọi USD m USD
USD Leftrightarrow { { y } _ { 0 } } = left ( m-2 right ) { { x } _ { 0 } } + m + 3 USD với mọi USD m USD
USD Leftrightarrow { { y } _ { 0 } } = m { { x } _ { 0 } } – 2 { { x } _ { 0 } } + m + 3 USD với mọi USD m USD
USD Leftrightarrow m left ( { { x } _ { 0 } } + 1 right ) = 2 { { x } _ { 0 } } + { { y } _ { 0 } } – 3 $ với mọi USD m USD
USD Leftrightarrow left { begin { align } và 2 { { x } _ { 0 } } + { { y } _ { 0 } } – 3 = 0 và { { x } _ { 0 } } + 1 = 0 end { align } right. $
USD Leftrightarrow left { begin { align } và { { x } _ { 0 } } = – 1 và { { y } _ { 0 } } = 5 end { align } right. $
USD Rightarrow N left ( – 1 ; 5 right ) USD

III – Bài tập luyện tập

Bài 1. Cho hàm số $y=left( m+5 right)x+2m-10$

a ) Với giá trị nào của USD m USD thì USD y $ là hàm số bậc nhất .
b ) Với giá trị nào của USD m USD thì hàm số đồng biến .
c ) Tìm USD m USD để đồ thị hàm số đi qua điểm $ A left ( 2 ; 3 right ) USD .
d ) Tìm USD m USD để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9 .
e ) Tìm USD m USD để đồ thị hàm số đi qua điểm 10 trên trục hoành .

Bài 2. Cho hàm số $y=left( 2m+3 right)x-2+m$

a ) Tìm USD m USD để hàm số đồng biến ? Nghịch biến ?
b ) Tìm USD m USD biết đồ thị hàm số trên song song với đường thẳng USD y = – 5 x + 3 , , ? $
Vuông góc với đường thẳng USD x-2y+1 = 0 ? USD
c ) Tìm USD m USD biết đồ thị hàm số và hai đường thẳng USD y = – 2 x + 3 $ và $ y = x-5 USD đồng quy .

Bài 3. Cho $left( d right):y=left( m-2 right)x+2$

a ) Chứng minh rằng khi USD m USD đổi khác thì $ left ( d right ) USD luôn đi qua một điểm cố định và thắt chặt .
b ) Tìm USD m USD để khoảng cách từ gốc tọa độ đến $ left ( d right ) USD bằng 1 .
c ) Tìm USD m USD để đường thẳng $ left ( d right ) $ tạo với những trục tọa độ một tam giác có diện tích quy hoạnh bằng 2 .

Bài 4. Cho hàm số $y=left( 2-m right)x+m-1,,,,,left( 1 right).$ Với giá trị nào của $m$ thì:

a ) Hàm số ( 1 ) là hàm số bậc nhất .
b ) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ .
c ) Đồ thị hàm số tạo với trục $ Ox $ một góc $ alpha = { { 30 } ^ { 0 } } $ .
d ) Chứng minh rằng với mọi giá trị của USD m USD họ những đường thẳng xác lập bởi hàm số ( 1 ) luôn đi qua một điểm cố định và thắt chặt. Hãy xác lập tọa độ điểm cố định và thắt chặt đó ?

Bài 5. Cho hàm số $y=-x-3,,,left( {{d}_{1}} right)$ và $y=3x+1,,left( {{d}_{2}} right)$

a ) Vẽ đồ thị hàm số $ left ( { { d } _ { 1 } } right ) USD và $ left ( { { d } _ { 2 } } right ) USD trên cùng một mặt phẳng tọa độ .

b) Gọi $B$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $left( {{d}_{1}} right)$ và $left( {{d}_{2}} right)$ với trục hoành. $A$ là giao điểm của $left( {{d}_{1}} right)$ và $left( {{d}_{2}} right)$. Tính chu vi và diện tích $Delta ABC.$

Xem thêm: Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ – Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng

c ) Tìm góc tạo bởi $ left ( { { d } _ { 1 } } right ) USD và $ left ( { { d } _ { 2 } } right ) USD với trục $ Ox $ ( làm tròn đến phút ) .

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập

Bình luận