Tính Tích Phân, Nguyên Hàm Bằng Phương Pháp Đổi Biến Số Và Bài Tập Trắc Nghiệm

Dạng bài tập tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số thường Open trong đề thi trung học phổ thông Quốc Gia. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp không thiếu triết lý, phương pháp giải và bài tập minh họa giúp những em tự tin khi làm dạng bài này. Tham khảo ngay trong bài viết dưới đây nhé !

1. Phương pháp đổi biến số là gì?

Phương pháp đổi biến số là một trong những phương pháp được dùng rất nhiều khi giải bài tập vì khi sử dụng phương pháp này, việc giải quyết và xử lý bài toán sẽ trở nên đơn thuần hơn .
Một số công thức nguyên hàm được sử dụng khi đổi biến số :

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = (3x + 2)^{3}$

Giải :

Ví dụ 2: Tính tích phân sau $I=-int_{1}^{0}x(1-x)^{19}dx$

Giải :

2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và ví dụ

Để tìm nguyên hàm thường thì người ta sẽ sử dụng 2 phương pháp đổi biến số nguyên hàm sau : phương pháp đổi biến số loại 1 và phương pháp biến hóa biến số loại 2 .

2.1. Phương pháp đổi biến số loại 1

Để giải nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 1 ta triển khai những bước sau :

• Bước 1 : Đặt ẩn phụ t = u ( x )
• Bước 2 : Tính vi phân dt = u ‘ ( x ) dx
• Bước 3 : Biểu thị f ( x ) và d ( x ) theo t và dt. Giả sử f ( x ) dx = g ( t ) dt

• Nếu hàm số :

$ int ( x ) USD có chứa $ sqrt [ n ] { g ( x ) } $ đặt USD t = sqrt [ n ] { g ( x ) } Leftrightarrow t ^ { n } = g ( x ) Rightarrow n. t ^ { n-1 } dt = g ‘ ( x ) dx USD

• Nếu hàm số :

$ int ( x ) USD có chứa USD ( ax + b ) ^ { n } $ đặt USD t = ax + b Rightarrow dt = adx USD hoặc USD x = frac { t-b } { a } $

Ví dụ: Tìm nguyên hàm sau:

a ) $ int frac { x ^ { 3 } } { 1 + x ^ { 2 } } dx USD
b ) $ int x ^ { 3 } sqrt { x ^ { 2 } + 9 } dx USD
Giải :

2.2. Phương pháp đổi biến số loại 2

Để giải nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 2 ta thực thi những bước sau :

• Bước 1 : Đặt ẩn phụ x = u ( t )
• Bước 2 : Tìm vi phân dx = u ‘ ( t ) dx
• Bước 3 : Biểu thị hàm số f ( x ) và d ( x ) theo t và dt .

Giả sử f ( x ) dx = g ( t ) dt

• Bước 4 : Tìm USD I = int g ( t ) dt USD

Ví dụ: Tìm nguyên hàm: 

a ) $ int xe ^ { x ^ { 2 } } dx USD
b ) $ int frac { e ^ { tanx } } { cos ^ { 2 } x } $
Giải :

3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

3.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1 ta triển khai những bước sau :

• Bước 1 : Đặt t = u ( x ) đổi cận ta có :

• USD x = a Rightarrow t = u ( a ) = a ‘ $
• Hoặc USD x = b Rightarrow t = u ( b ) = b ‘ $

• Bước 2 : Tìm vi phân dt = u ‘ ( x ) dx
• Bước 3 : Biến đổi f ( x ) dx thành g ( t ) dt
• Bước 4 : Tích phân $ int ^ { b } _ { a } f ( x ) dx = int ^ { b ‘ } _ { a ‘ } g ( t ) dt USD

Ví dụ: Tính tích phân sau đây:

a) $int^{frac{π}{2}}_{0}sin^{2}x cos^{3}xdx$

b ) $ int ^ { e frac { π } { 2 } } _ { 0 } frac { cos ( Inx ) } { x } dx USD
Giải :

3.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2

Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 ta triển khai những bước sau :

• Bước 1 : Đặt x = u ( t ) đổi cận ta có :

USD x = a Rightarrow t = a ‘ $ hoặc USD x = b Rightarrow t = b ‘ $

• Bước 2 : Tìm vi phân hai vế dx = u ‘ ( t ) dt
• Bước 3 : Biến đổi $ f ( x ) dx = f ( u ) ( t ) ). u ‘ ( t ) dt = g ( t ) dx USD
• Bước 4 : Tính tích phân theo công thức $ int ^ { b } _ { a } f ( x ) dx = int ^ { b ‘ } _ { a ‘ } g ( t ) dt USD

Ví dụ: Tính tích phân: $I = int^{2}_{1}x^{2}sqrt{4-x^{2}}dx$

Giải :

4. Các bài tập về phương pháp đổi biến số giải nguyên hàm, tích phân

Để nắm chắc kỹ năng và kiến thức, những em hãy tìm hiểu thêm những bài tập về phương pháp đổi biến số nguyên hàm, tích phân dưới đây nhé !

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: $int frac{2sinx}{1+3cosx}dx$

Giải :

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau $int frac{In^{2}x-1}{xInx}dx$

Giải :

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: $int xe^{x^{2}}dx$

Giải :

 

Ví dụ 4: Tính nguyên hàm $int frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx$

Giải :

Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $int frac{x}{(2x+1)^{3}}$

Giải :

Ví dụ 6: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}frac{1}{1+x^{2}}dx$

Giải :

Ví dụ 7: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}sqrt{1-x^{2}}dx$

Giải :

Ví dụ 8: Tính tích phân của $I=int_{0}^{1}x^{5}(1-x^{3})^{6}dx$

Giải :

Ví dụ 9: Tính tích phân $I=int^{0}_{-1}x^{2}(1-x)^{9}dx$

Giải :

Ví dụ 10: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}(1+3x)(1+2x+3x^{2})^{10}dx$

Giải:

Trên đây là hàng loạt kiến thức và kỹ năng về tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp biến hóa biến số và những dạng bài thường gặp. Hy vọng rằng qua bài viết trên, những em hoàn toàn có thể tự tin làm bài tập khi sử dụng phương pháp đổi biến số. Để học nhiều hơn kiến thức và kỹ năng về toán học lớp 12, truy vấn trang web Vuihoc. vn ngay nhé !

>> XEM THÊM: 

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập