Tính diện tích hình phẳng: Lý thuyết, Công thức tính và Bài tập - HocVienKhoiNghiep.Edu.Vn
Rate this post

Tính diện tích hình phẳng là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong chương trình toán phổ thông. Vậy diện tích hình phẳng là gì? Các dạng bài tập tìm diện tích hình phẳng? Cách tìm diện tích hình phẳng như nào? Trong bài viết dưới đây DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Diện tích hình phẳng là gì?

Trong đời sống thực tiễn cũng như khoa học kĩ thuật thì tất cả chúng ta cần phải tính diện tích của những hình phẳng phức tạp mà những công thức thường thì không hề giám sát được. Ví dụ : Diện tích của mặt hồ tự nhiên, thiết diện cắt ngang của một dòng sông … Vì thế ta cần vận dụng tích phân để hoàn toàn có thể tính được diện tích của những hình phức tạp đó .

Công thức tính diện tích hình phẳng cơ bản

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các trục tọa độ

Nếu hàm số (y=f(x)) liên tục trên đoạn ([a;b]) thì diện tích (S) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai đường thẳng (x=a, x=b ) là :

Bạn đang đọc: Tính diện tích hình phẳng: Lý thuyết, Công thức tính và Bài tập

( S = int_ { a } ^ { b } | f ( x ) | dx )

Ví dụ:

Tính diện tích ( S ) của hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( y = x ^ 3 – x ), đường thẳng ( x = 2 ), trục tung và trục hoành

Cách giải:

Vì trục tung có phương trình tọa độ là ( x = 0 ) nên vận dụng công thức nêu trên ta có :
( S = int_ { 0 } ^ { 2 } | x ^ 3 – x | dx )
Vì ( left { begin { matrix } x ^ 3 – x leq 0 hspace { 5 mm } forall hspace { 5 mm } 0 leq x leq 1 x ^ 3 – x geq 0 hspace { 5 mm } forall hspace { 5 mm } 1 leq x leq 2 end { matrix } right. )
Nên ta có :
( S = int_ { 0 } ^ { 1 } ( x-x ^ 3 ) dx + int_ { 1 } ^ { 2 } ( x ^ 3 – x ) dx )
( S = ( frac { x ^ 2 } { 2 } – frac { x ^ 4 } { 4 } ) bigg | _ { 0 } ^ { 1 } + ( frac { x ^ 4 } { 4 } – frac { x ^ 2 } { 2 } ) bigg | _ { 1 } ^ { 2 } )
( S = frac { 1 } { 4 } + frac { 9 } { 4 } = frac { 5 } { 2 } ) ( đvdt )

Công thức tổng quát tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 

Công thức tìm diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi ( y = f ( x ) ), ( y = g ( x ) ) liên tục trên ( [ a ; b ] ) và hai đường thẳng ( x = a ), ( x = b ) :
( S = int_ { a } ^ { b } | f ( x ) – g ( x ) | dx )

Ví dụ:

Tìm diện tích hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ( y = x ^ 2 + 2 ) và ( y = 3 x )

Cách giải:

Đầu tiên, ta sẽ hoành độ giao điểm của hai hàm số trên bằng cách giải phương trình :
( x ^ 2 + 2 = 3 x )
( Leftrightarrow x ^ 2-3 x + 2 = 0 Leftrightarrow ( x-1 ) ( x-2 ) = 0 )
( Leftrightarrow left { begin { matrix } x = 1 x = 2 end { matrix } right. )
Vậy hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số ( y = x ^ 2 + 2 ), ( y = 3 x ) và hai đường thẳng ( x = 1 ), ( x = 2 )
Áp dụng công thức trên ta có :
( S = int_ { 1 } ^ { 2 } | x ^ 2-3 x + 2 | dx )
( = int_ { 1 } ^ { 2 } ( 3 x – x ^ 2-2 ) dx )
( = ( frac { 3 x ^ 2 } { 2 } – frac { x ^ 3 } { 3 } – 2 x ) bigg | _ { 1 } ^ { 2 } = frac { 1 } { 6 } ) ( đvdt )

Công thức tính diện tích hình phẳng nâng cao

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số

Bài toán đặt ra: Tính diện tích hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị ba hàm số : (y=f(x) ;y=g(x); y=h(x))

dien-tich-hinh-phang-1-4561789

Các bước làm như sau:

  • Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm của từng cặp Tìm hoành độ giao điểm của từng cặp đồ thị là ( x_1 ; x_2 ; x_3 ) với ( x_1 leq x_2 leq x_3 )
  • Bước 2: Diện tích hình phẳng (S) sẽ được tính theo công thức :

( S = int_ { x_1 } ^ { x_2 } | u ( x ) | dx + int_ { x_2 } ^ { x_3 } | v ( x ) | dx )
Với ( u ( x ) ) là hàm số của phương trình tìm ( x_1 )
( v ( x ) ) là hàm số của phương trình tìm ( x_2 )

 Ví dụ:

Tính diện tích hình phẳng S được số lượng giới hạn bởi ba hàm số : ( y = 3 ^ x ), ( y = 4 – x ), ( y = 1 )

Cách giải:

Ta tìm hoành độ giao điểm của từng cặp hàm số :
( left { begin { matrix } 3 ^ x = 4 – x Rightarrow x = 1 3 ^ x = 1 Rightarrow x = 0 4 – x = 1 Rightarrow x = 3 end { matrix } right. )
Vậy vận dụng công thức trên ta có :
( S = int_ { 0 } ^ { 1 } | 3 ^ x – 1 | dx + int_ { 1 } ^ { 3 } | 4 – x-1 | dx )
( = ( frac { 3 ^ x } { ln 3 } – x ) bigg | _ { 0 } ^ { 1 } + ( 3 x – frac { x ^ 2 } { 2 } ) bigg | _ { 1 } ^ { 3 } )
( = ( frac { 3 ^ x } { ln 3 } – x ) bigg | _ { 0 } ^ { 1 } + ( 3 x – frac { x ^ 2 } { 2 } ) bigg | _ { 1 } ^ { 3 } = frac { 2 } { ln 3 } + 1 ) ( đvdt )

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi parabol và đường thẳng

Cho Parabol ( y = ax ^ 2 + bx + c ) với ( b ^ 2-4 ac > 0 ). Khi đó diện tích hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi đồ thị của Parabol với trục hoành được tính như sau :
( S = int_ { x_1 } ^ { x_2 } ( ax ^ 2 + bx + c ) dx )
Với ( x_1 ; x_2 ) là hai nghiệm của Parabol
Bằng cách biến hóa đơn thuần sử dụng định lí Vi-ét, từ công thức trên ta sẽ có :
( S ^ 2 = frac { ( b ^ 2-4 ac ) ^ 3 } { 36 a ^ 4 } ) hay ( S = frac { ( b ^ 2-4 ac ) sqrt { b ^ 2-4 ac } } { 6 a ^ 2 } )
Công thức này thường được vận dụng trong những bài toán trắc nghiệm nhu yếu giám sát nhanh !

Ví dụ:

Xem thêm: Danh sách bảng đơn vị đo khối lượng

Tính diện tích hình phẳng ( S ) được giới hản bởi Parabol ( y = x ^ 2-5 x + 6 ) và trục hoành

Cách giải:

Áp dụng công thức trên với ( a = 1 : b = – 5 ; c = 6 ) ta có :
( S = frac { ( b ^ 2-4 ac ) sqrt { b ^ 2-4 ac } } { 6 a ^ 2 } = frac { 1 } { 6 } ) ( đvdt )

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn

Với dạng toán này, ta cần vẽ hình sơ bộ để nhận diện được hình phẳng cần tính diện tích rồi sau đó sử dụng những công thức cơ bản nêu trên để thống kê giám sát thích hợp .

Chú ý: Với dạng bài này khi cần tính tích phân chúng ta sẽ cần sử dụng phương pháp đổi biến số để tính được tích phân cần tìm. 

Xem chi tiết >>> Phương pháp đổi biến số trong Nguyên hàm và Tích phân 

Ví dụ:

Tìm diện tích hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi Parabol ( y = sqrt { 2 x } ) và đường tròn ( x ^ 2 + y ^ 2 = 8 )

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của Parabol và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình :
( left { begin { matrix } y = sqrt { 2 x } x ^ 2 + y ^ 2 = 8 end { matrix } right. ) với ( x geq 0 )
( Rightarrow x ^ 2 + 2 x – 8 = 0 Rightarrow ( x-2 ) ( x + 4 ) = 0 )
( Rightarrow left [ begin { array } { l } x = 2 x = – 4 end { array } right. )
Vì ( x geq 0 ) nên ( x = 2 )
Hoành độ giao điểm của đường tròn và trục hoành là điểm ( x = 2 sqrt { 2 } ) và ( x = – 2 sqrt { 2 } )
Qua hình vẽ ta thấy ( S ) được chia làm hai phần gồm :
( S_1 ) là phần tô màu vàng
( S_2 ) là phần tô màu đỏ
( S = S_1 + S_2 )

dien-tich-hinh-phang-2-2804840

( S_1 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi Parabol ( y = sqrt { 2 x } ) và hai đường thẳng ( x = 0 ; x = 2 ). Vậy
( S_1 = 2 int_ { 0 } ^ { 2 } sqrt { 2 x } hspace { 2 mm } dx = 2. frac { 2 sqrt { 2 } } { 3 } x sqrt { x } bigg | _ { 0 } ^ { 2 } = frac { 8 } { 3 } )
( S_2 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đường tròn ( x ^ 2 + y ^ 2 = 8 ) và hai đường thẳng ( x = 2 ; x = 2 sqrt { 2 } ). Vậy
( S_2 = 2 int_ { 2 } ^ { 2 sqrt { 2 } } sqrt { x ^ 2-8 } hspace { 2 mm } dx )
Đặt ( x = 2 sqrt { 2 } sin t ) với ( 0 leq t leq frac { pi } { 2 } )
( Rightarrow dx = 2 sqrt { 2 } cos t hspace { 2 mm } dt )
( Rightarrow S_2 = 2 int_ { frac { pi } { 4 } } ^ { frac { pi } { 2 } } 2 sqrt { 2 }. sqrt { 8-8 sin ^ 2 t }. cos t hspace { 2 mm } dt )
( = 16 int_ { frac { pi } { 4 } } ^ { frac { pi } { 2 } } cos ^ 2 t hspace { 2 mm } dt )
( = 8 int_ { frac { pi } { 4 } } ^ { frac { pi } { 2 } } ( 1 + cos 2 t ) dt )
( = 8 ( t + frac { sin 2 t } { 2 } ) bigg | _ { frac { pi } { 4 } } ^ { frac { pi } { 2 } } = 2 pi – 4 )
Vậy ( S = S_1 + S_2 = 2 pi + frac { 4 } { 3 } ) ( đvdt )

Chú ý: Qua các ví dụ trên ta nhận thấy công thức tính diện tích tổng quát (S=int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|dx) được sử dụng ở hầu hết các bài toán. Vì vậy đây là một công thức cơ bản quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ.

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về các công thức diện tích hình phẳng bằng tích phân cũng như một số dạng bài tập tính diện tích hình phẳng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết cụ thể qua bài giảng dưới đây :

(Nguồn: www.youtube.com)

Rate this post

Xem thêm: 99+ Hình Avatar Mèo Cặp cute và Cực Chất Cho Các Couple | TTTVM – Thamtrangtraivinamilk

Please follow and like us :

follow_subscribe-6064717 fbshare_bck-9228628
Tweet

fb-share-icon

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Thông tin cần biết

Bình luận