Tìm điều kiện để hàm số có cực trị – https://thcsbevandan.edu.vn

Bài viết hướng dẫn giải pháp giải bài toán tìm điều kiện để hàm số có cực trị trong chương trình Giải tích 12 .

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định lý 1: (Dấu hiệu I): Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên một lân cận của điểm ${x_0}$ (có thể trừ tại ${x_0}$).
1. Nếu $f'(x) > 0$ trên khoảng $left( {{x_0} – delta ,{x_0}} right)$ và $f'(x)
2. Nếu $f'(x) 0$ trên khoảng $left( {{x_0},{x_0} + delta } right)$ thì ${x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x).$

Định lí 2 (Dấu hiệu II): Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục tới cấp $2$ tại ${x_0}$ và $f’left( {{x_0}} right) = 0$, $f”left( {{x_0}} right) ne 0$ thì ${x_0}$ là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa:
1. Nếu $f”left( {{x_0}} right)
2. Nếu $f”left( {{x_0}} right) > 0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${x_0}.$

2. PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số $y = f(x)$ ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Miền xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm $y’.$
Bước 3: Lựa chọn theo một trong hai hướng:
+ Hướng 1: Nếu xét được dấu của $y’$ thì sử dụng dấu hiệu $I$ với lập luận: Hàm số có $k$ cực trị $ Leftrightarrow $ Phương trình $y’ = 0$ có $k$ nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó.
+ Hướng 2: Nếu không xét được dấu của $y’$ hoặc bài toán yêu cầu cụ thể về cực đại hoặc cực tiểu thì sử dụng dấu hiệu $II$, bằng việc tính thêm $y”.$ Khi đó:
1. Hàm số có cực trị $ Leftrightarrow $ hệ sau có nghiệm thuộc $D$: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{y’ = 0}
{y” ne 0}
end{array}} right..$
2. Hàm số có cực tiểu $ Leftrightarrow $ hệ sau có nghiệm thuộc $D$: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{y’ = 0}
{y” > 0}
end{array}} right..$
3. Hàm số có cực đại $ Leftrightarrow $ hệ sau có nghiệm thuộc $D$: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{y’ = 0}
{y”
end{array}.} right.$
4. Hàm số đạt cực tiểu tại ${x_0}$ điều kiện là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} in D}
{{x_0}{rm{:là:điểm:tới:hạn}}}
{y”left( {{x_0}} right) > 0}
end{array}} right..$
5. Hàm số đạt cực đại tại ${x_0}$ điều kiện là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} in D}
{{x_0}{rm{:là:điểm:tới:hạn}}}
{y”left( {{x_0}} right)
end{array}} right..$
(Điểm tới hạn: tại đó $f’left( {{x_0}} right)$ không xác định hoặc bằng $0$).

3. BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
Bài tập 1. Cho hàm số: $y = {x^3} + 3m{x^2} + 3left( {{m^2} – 1} right)x + {m^3} – 3m.$ Chứng minh rằng với mọi $m$ hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu, đồng thời chứng minh rằng khi $m$ thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn chạy trên hai đường thẳng cố định.

Miền xác định $D = R.$
Đạo hàm: $y’ = 3{x^2} + 6mx + 3left( {{m^2} – 1} right).$
$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 3{x^2} + 6mx + 3left( {{m^2} – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – m – 1}
{x = – m + 1}
end{array}} right..$
Bảng biến thiên:

Vậy với mọi $m$ hàm số:
+ Đạt cực đại tại $x = – m – 1$ và ${y_{CĐ}} = 2$, đồng thời khi $m$ thay đổi điểm cực đại $B( – m – 1;2)$ luôn chạy trên đường thẳng cố định $y – 2 = 0.$
+ Đạt cực tiểu tại $x = – m + 1$ và ${y_{CT}} = – 2$, đồng thời khi $m$ thay đổi điểm cực tiểu $A( – m + 1; – 2)$ luôn chạy trên đường thẳng cố định $y + 2 = 0.$

Bài tập 2. Cho hàm số: $y = frac{2}{3}{x^3} + (cos a – 3sin a){x^2} – 8(cos 2a + 1)x + 1.$
a. Chứng minh rằng với mọi $a$ hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu.
b. Giả sử đạt cực đại và cực tiểu tại ${x_1}$, ${x_2}.$ Chứng minh rằng $x_1^2 + x_2^2 le 18.$

a. Ta có:
Miền xác định $D = R.$
Đạo hàm: $y’ = 2{x^2} + 2(cos a – 3sin a)x – 8(cos 2a + 1)$ $ = 2{x^2} + 2(cos a – 3sin a)x – 16{cos ^2}a.$
$y’ = 0$ $ Leftrightarrow {x^2} + (cos a – 3sin a)x – 8{cos ^2}a = 0.$
Ta có $Delta = {(cos a – 3sin a)^2} + 32{cos ^2}a > 0$, $forall a$ do đó phương trình $y’ = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy với mọi $m$ hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu.
b. Giả sử hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại ${x_1}$, ${x_2}$ ta có:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = 3sin a – cos a}
{{x_1}{x_2} = – 8{{cos }^2}a}
end{array}} right..$
Từ đó: $x_1^2 + x_2^2$ $ = {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 2{x_1}{x_2}$ $ = {(3sin a – cos a)^2} + 16{cos ^2}a$ $ = 13 + 4cos 2a – 3sin 2a$ $ le 13 + sqrt {{4^2} + {3^2}} = 18.$

Bài tập 3. Cho hàm số: $y = 2{x^3} – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1.$
a. Khảo sát sự biến thiên của hàm số với $m = – frac{1}{2}.$
b. Chứng minh rằng với mọi $m$ hàm số luôn có cực đại và cực tiểu và hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu thoả mãn ${x_1} – {x_2}$ không phụ thuộc tham số $m.$

Miền xác định $D = R.$
Đạo hàm: $y’ = 6{x^2} – 6(2m + 1)x + 6m(m + 1).$
$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 6{x^2} – 6(2m + 1)x + 6m(m + 1) = 0.$
$ Leftrightarrow f(x) = {x^2} – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0$ $(1).$
Trước hết hàm số có cực đại và cực tiểu $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt.
$ Leftrightarrow Delta > 0$ $ Leftrightarrow {(2m + 1)^2} – 4m(m + 1) > 0$ $ Leftrightarrow 1 > 0$ luôn đúng.
Khi đó phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt là:
$left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = m}
{{x_2} = m + 1}
end{array}} right.$ $ Rightarrow {x_1} – {x_2} = – 1$ không phụ thuộc tham số $m.$

Bài tập 4. Cho hàm số $y = {x^3} – 3m{x^2} + 4{m^3}.$ Để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$ thì $m$ nhận giá trị:
A. $m = pm frac{1}{{sqrt 2 }}.$
B. $m = 0.$
C. $m = pm 2.$
D. $m = pm 3.$

Đáp số trắc nghiệm A.
Lời giải tự luận:
Ta lần lượt có:
+ Miền xác định $D = R.$
+ Đạo hàm: $y’ = 3{x^2} – 6mx$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow 3{x^2} – 6mx = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = 0}
{{x_2} = 2m}
end{array}} right.$ $(1).$
Trước hết hàm số có cực đại và cực tiểu $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt $ Leftrightarrow m ne 0.$
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là $Aleft( {0;4{m^3}} right)$ và $B(2m;0).$
Để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng $(d): y = x$:
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{AB bot (d)}
{{rm{trung:điểm:}}I{rm{:của:}}AB{rm{:thuộc:}}(d)}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{overrightarrow {AB} bot overrightarrow {{a_d}} }
{Ileft( {m;2{m^3}} right) in (d)}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{2m – 4{m^3} = 0}
{m – 2{m^3} = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow m = pm frac{1}{{sqrt 2 }}$ (vì $m ne 0$).
Vậy với $m = pm frac{1}{{sqrt 2 }}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Lựa chọn đáp án bằng phép thử:
Trước tiên ta có:
$y’ = 3{x^2} – 6mx$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow 3{x^2} – 6mx = 0$ $(*).$
$y” = 6x – 6m$, $y” = 0$ $ Leftrightarrow x = m$ $ Rightarrow $ điểm uốn $Uleft( {m;2{m^3}} right).$
Khi đó:
+ Với $m = 0$ thì $(*)$ không có hai nghiệm phân biệt (nghiệm kép $x = 0$). Suy ra hàm số không có cực đại và cực tiểu nên đáp án B bị loại.
+ Với $m = 2$ thì điểm uốn $U(2;16)$ không thuộc đường thẳng $y = x.$ Suy ra đáp án C bị loại.
+ Với $m = 3$ thì điểm uốn $U(3;54)$ không thuộc đường thẳng $y = x.$ Suy ra đáp án D bị loại.
Do đó việc lựa chọn đáp án A là đúng đắn.

Bài tập 5. Cho hàm số $y = {x^4} – 2m{x^2} + 2m + {m^4}.$ Để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều thì $m$ nhận giá trị:
A. $m = 0.$
B. $m = 1.$
C. $m = 4.$
D. $m = sqrt[3]{3}.$

Đáp số trắc nghiệm D.
Lời giải tự luận:
Ta lần lượt có:
+ Miền xác định $D = R.$
+ Đạo hàm: $y’ = 4{x^3} – 4mx$ $ = 4xleft( {{x^2} – m} right)$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow xleft( {{x^2} – m} right) = 0$ $(1).$
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi $(1)$ có ba nghiệm phân biệt $ Leftrightarrow m > 0.$
Khi đó $(1)$ có ba nghiệm phân biệt $x = 0$, $x = pm sqrt m $ và toạ độ ba điểm cực trị:
$Aleft( {0;2m + {m^4}} right)$, $Bleft( { – sqrt m ;{m^4} – {m^2} + 2m} right)$, $Cleft( {sqrt m ;{m^4} – {m^2} + 2m} right).$
Ta có $Delta ABC$ đều khi và chỉ khi:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{AB = AC{rm{:(luôn:đúng)}}}
{AB = BC}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}$ $ Leftrightarrow m + {m^4} = 4m$ $ Leftrightarrow m = sqrt[3]{3}$ (vì $m ne 0$).
Vậy với $m = sqrt[3]{3}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Lựa chọn đáp án bằng phép thử:
Trước tiên ta có: $y’ = 4{x^3} – 4mx$ $ = 4xleft( {{x^2} – m} right)$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow xleft( {{x^2} – m} right) = 0$ $(*).$
Khi đó:
+ Với $m = 0$ thì $(*)$ chỉ có một nghiệm ($x = 0$). Suy ra hàm số không có đủ ba cực trị để tạo thành tam giác nên đáp án A bị loại.
+ Với $m = 1$ thì từ nghiệm của $(*)$ ta được tọa độ ba điểm cực trị là: $A(0;3)$, $B( – 1;2)$, $C(1;2)$ $ Rightarrow A{B^2} = 1 + 1 = 2$ và $B{C^2} = 4$ $ Rightarrow Delta ABC$ không đều. Suy ra đáp án B bị loại.
+ Với $m = 4$ thì từ nghiệm của $(*)$ ta được tọa độ ba điểm cực trị là: $A(0;264)$, $B( – 2;248)$, $C(2;248)$ $ Rightarrow A{B^2} = 4 + 256 = 260$ và $B{C^2} = 8$ $ Rightarrow Delta ABC$ không đều. Suy ra đáp án C bị loại.
Do đó việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn.

Bài tập 6. Cho hàm số: $y = k{x^4} + (k – 1){x^2} + 1 – 2k.$ Xác định các giá trị của tham số $k$ để hàm số chỉ có một điểm cực trị.
A. $k in (0;1).$
B. $k in ( – infty ;0] cup [1; + infty ).$
C. $k in ( – 1;1).$
D. $k in ( – infty ; – 1] cup [1; + infty ).$

Miền xác định $D = R.$
Đạo hàm: $y’ = 4k{x^3} + 2(k – 1)x$ $ = 2xleft( {2k{x^2} + k – 1} right).$
$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 2xleft( {2k{x^2} + k – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}
{f(x) = 2k{x^2} + k – 1 = 0}
end{array}} right..$
Hàm số chỉ có một điểm cực trị $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
f(x) = 0{rm{:vô:nghiệm::}}(1)
left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{k ne 0}
{left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = 0{rm{:có:nghiệm:kép::}}(2)}
{f(0) = 0}
end{array}} right.}
end{array}} right.
end{array} right..$
Giải $(1)$: Ta xét:
+ Với $k = 0$ ta có: $f(x) = 0$ $ Leftrightarrow – 1 = 0$ mâu thuẫn. Vậy với $k = 0$ phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm.
+ Với $k ne 0$: để $f(x) = 0$ vô nghiệm điều kiện là:
$Delta
{k > 1}
{k
end{array}} right..$
Giải $(2)$: Ta được: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{k ne 0}
{left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = 0}
{f(0) = 0}
end{array}} right.}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{k ne 0}
{left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{ – 8k(k – 1) = 0}
{k – 1 = 0}
end{array}} right.}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow k = 1.$
Vậy hàm số chỉ có một điểm cực trị khi $k in ( – infty ;0] cup [1; + infty ).$

Bài tập 7. Cho hàm số: $y = frac{1}{2}{x^4} – frac{1}{3}{x^3} – mx + 2.$
a. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.
A. $m > frac{1}{2}.$
B. $0
C. $m
D. $ – frac{1}{{27}}
b. Với kết quả ở câu a chứng tỏ rằng khi đó tổng bình phương hoành độ các điểm cực trị là một hằng số.

Miền xác định $D = R.$
Đạo hàm: $y’ = 2{x^3} – {x^2} – m$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow 2{x^3} – {x^2} – m = 0$ $ Leftrightarrow 2{x^3} – {x^2} = m$ $(1).$
a. Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu:
$ Leftrightarrow $ phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt.
$ Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – {x^2}$ tại ba điểm phân biệt.
Xét hàm số $y = 2{x^3} – {x^2}$ có miền xác định $D = R.$
+ Đạo hàm: $y’ = 6{x^2} – 2x$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow 6{x^2} – 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = frac{1}{3}.$
+ Giới hạn: $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty $ và $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty .$
+ Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta nhận được điều kiện để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu là $ – frac{1}{{27}}
b. Khi đó hoành độ các cực trị là nghiệm của phương trình $(1)$ và thoả mãn:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} + {x_3} = frac{1}{2}}
{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = 0}
{{x_1}{x_2}{x_3} = frac{m}{2}}
end{array}} right..$
Suy ra: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ $ = {left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} right)^2}$ $ – 2left( {{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1}} right) = frac{1}{4}.$
Vậy khi hàm số có cực đại và cực tiểu thì tổng bình phương hoành độ các điểm cực trị là một hằng số.

Bài tập 8. Cho hàm số: $y = frac{{2{x^2} + 3x + m – 2}}{{x + 2}}.$
Chứng tỏ rằng nếu hàm số đạt cực đại tại ${x_1}$ và cực tiểu tại ${x_2}$ thì ta có: $left| {yleft( {{x_1}} right) – yleft( {{x_2}} right)} right| = 4left| {{x_1} – {x_2}} right|.$

Miền xác định $D = Rbackslash { – 2} .$
Đạo hàm: $y’ = frac{{2{x^2} + 8x – m + 8}}{{{{(x + 2)}^2}}}$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow f(x) = 2{x^2} + 8x – m + 8 = 0$ $(1).$
Hàm số có cực đại, cực tiểu $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-2.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{f( – 2) ne 0}
{Delta ‘ > 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{ – m ne 0}
{2m > 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow m > 0.$
Khi đó phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$, ta có:
$yleft( {{x_1}} right) = frac{{2x_1^2 + 3{x_1} + m – 2}}{{{x_1} + 2}}$ $ = 4{x_1} + 3.$
$yleft( {{x_2}} right) = frac{{2x_2^2 + 3{x_2} + m – 2}}{{{x_2} + 2}}$ $ = 4{x_2} + 3.$
Từ đó: $left| {yleft( {{x_1}} right) – yleft( {{x_2}} right)} right|$ $ = left| {4{x_1} – 4{x_2}} right|$ $ = 4left| {{x_1} – {x_2}} right|.$

Bài tập 9. Hàm số $y = frac{{{x^2} – m(m + 1)x + {m^3} + 1}}{{x – m}}$ có cực đại và cực tiểu khi:
A. $m = 1.$
B. $m = 2.$
C. $m = 4.$
D. Mọi $m.$

Đáp số trắc nghiệm D.
Lời giải tự luận:
Ta lần lượt có:
+ Miền xác định $D = Rbackslash { m} .$
+ Viết lại hàm số dưới dạng:
$y = x – {m^2} + frac{1}{{x – m}}$ $ Rightarrow y’ = 1 – frac{1}{{{{(x – m)}^2}}}.$
$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 1 – frac{1}{{{{(x – m)}^2}}} = 0$ $ Leftrightarrow {(x – m)^2} – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = m pm 1 in D.$
Tức là $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $D$ và đổi dấu qua hai nghiệm này, do đó hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
Lựa chọn đáp án bằng phép thử:
Lấy $m = 0$ hàm số có dạng:
$y = frac{{{x^2} + 1}}{x} = x + frac{1}{x}$ $ Rightarrow y’ = 1 – frac{1}{{{x^2}}}.$
$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 1 – frac{1}{{{x^2}}} = 0$ $ Leftrightarrow {x^2} – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = pm 1 in D.$
Tức là $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $D$ và đổi dấu qua hai nghiệm này, do đó hàm số có cực đại và cực tiểu tại $m = 0$ (chỉ có ở đáp án D).
Do đó việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn.

Bài tập 10. Xác định giá trị của tham số để các hàm số sau có cực trị:
$y = frac{{{x^2} + 2mx – m}}{{x + m}}$ với $m$ là tham số.
A. $m > 2.$
B. $m
C. $0
D. $ – 1

Miền xác định $D = Rbackslash { – m} .$
Đạo hàm $y’ = frac{{{x^2} + 2mx + 2{m^2} + m}}{{{{(x + m)}^2}}}$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 2{m^2} + m = 0.$
Để hàm số có cực trị điều kiện là: $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
$ Leftrightarrow Delta ‘ > 0$ $ Leftrightarrow – {m^2} – m > 0$ $ Leftrightarrow – 1
Vậy với $-1
Chọn đáp án D.

Bài tập 11. Cho hàm số: $y = frac{{{x^2} + mx – 2}}{{mx – 1}}.$
Xác định $m$ để:
a. Hàm số có cực trị.
A. $|m|
B. $|m| > 2.$
C. $1
D. $ – 2
b. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mãn ${x_1} + {x_2} = 4{x_1}{x_2}.$
A. $m = frac{1}{2}.$
B. $m = frac{5}{2}.$
C. $m = frac{3}{2}.$
D. $m = – frac{3}{2}.$
c. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dương.
A. $0
B. $m > 2.$
C. $0
D. $ – 2

Miền xác định $D = Rbackslash left{ {frac{1}{m}} right}.$
Đạo hàm: $y’ = frac{{m{x^2} – 2x + m}}{{{{(mx – 1)}^2}}}$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow f(x) = m{x^2} – 2x + m = 0$ $(1).$
a. Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Nếu $m = 0$ ta được: $y’ = – 2x$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$
Vì qua $x = 0$ đạo hàm $y’$ đổi dấu, do đó $m = 0$ thoả mãn.
Trường hợp 2. Nếu $m ne 0.$
Điều kiện là phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt.
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{a ne 0}
{Delta ‘ > 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}
{1 – {m^2} > 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}
{|m|
end{array}} right..$
Vậy với $|m|
b. Trước hết hàm số có cực đại, cực tiểu $ Leftrightarrow $ phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $frac{1}{m}.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{a ne 0}
{Delta ‘ > 0}
{f( – 1/m) ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}
{1 – {m^2} > 0}
{m – 1/m ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}
{|m|
end{array}} right.$ $(*).$
Khi đó phương trình $(1)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thoả mãn: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = frac{2}{m}}
{{x_1}.{x_2} = 1}
end{array}} right..$
Suy ra: ${x_1} + {x_2} = 4{x_1}{x_2}$ $ Leftrightarrow frac{2}{m} = 4$ $ Leftrightarrow m = frac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện $(*).$
Vậy với $m = frac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
c. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dương $ Leftrightarrow $ phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt dương khác $frac{1}{m}.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{a ne 0}
{Delta ‘ > 0}
{af(0) > 0}
{0
{f( – 1/m) ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}
{1 – {m^2} > 0}
{{m^2} > 0}
{1/m > 0}
{m – 1/m ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow 0
Vậy với $0
Đáp án trắc nghiệm: a. A – b. A – c. A.

Bài tập 12. Cho hàm số: $y = frac{{m{x^2} + x + m}}{{x + 1}}.$
a. Khảo sát sự biến thiên của hàm số với $m = 1.$
b. Tìm $m$ để hàm số không có cực trị.
A. ${m le frac{3}{2}}.$
B. ${m ge 1.}$
C. ${m ge 6.}$
D. ${0 le m le frac{1}{2}.}$

Đáp án trắc nghiệm: b. D.
a. Bạn đọc tự giải.
b. Miền xác định $D = Rbackslash { – 1} .$
Viết lại hàm số dưới dạng: $y = mx – m + 1 + frac{{2m – 1}}{{x + 1}}.$
Đạo hàm: $y’ = m – frac{{2m – 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = frac{{m{x^2} + 2mx – m + 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}.$
$y’ = 0$ $ Leftrightarrow f(x) = m{x^2} + 2x – m + 1 = 0.$
Để hàm số không có cực trị điều kiện là:
$left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{rm{Hàm:số:suy:biến}}}
{y’ ge 0{rm{:với:mọi:}}x in D}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0}
{2m – 1 = 0}
{Delta ‘ le 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0}
{2m – 1 = 0}
{2{m^2} – m le 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow 0 le m le frac{1}{2}.$
Vậy với $0 le m le frac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

Bài tập 13. Cho hàm số: $y = frac{{m{x^2} + left( {{m^2} + 1} right)x + 4{m^3} + m}}{{x + m}}.$ Xác định $m$ để hàm số có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ $(II)$, một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ $(IV).$
A. $m
B. $m
C. $m > sqrt 2 .$
D. $sqrt 2

Miền xác định $D = Rbackslash { – m} .$
Đạo hàm: $y’ = frac{{m{x^2} + 2{m^2}x – 3{m^3}}}{{{{(x + m)}^2}}}$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow f(x) = m{x^2} + 2{m^2}x – 3{m^3} = 0$ $(1).$
Để hàm số có hai cực trị điều kiện là: $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $ – m$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}
{Delta ‘ > 0}
{f( – m) ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow m ne 0.$
Khi đó phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = m$, ${x_2} = – 3m$ và toạ độ hai điểm cực trị là: $Aleft( {m;3{m^2} + 1} right)$, $Bleft( { – 3m; – 5{m^2} + 1} right).$
Để hàm số có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ $(II)$ và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ $(IV)$ ta phải có:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{A in P(II)}
{B in P(IV)}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m 0}
{ – 3m > 0{rm{:và:}} – 5{m^2} + 1
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow m
Vậy với $m
Đáp án trắc nghiệm: A.

Bài tập 14. Cho hàm số: $y = frac{{m{x^2} + 3mx + 2m + 1}}{{x – 1}}.$ Xác định các giá trị của tham số $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm về hai phía đối với trục $Ox.$
A. $0
B. $1
C. $0
D. $m > frac{5}{4}.$

Miền xác định $D = Rbackslash { 1} .$
Đạo hàm: $y’ = frac{{m{x^2} – 2mx – 5m – 1}}{{{{(x – 1)}^2}}}$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow m{x^2} – 2mx – 5m – 1 = 0$ $(1).$
Hàm số có cực trị $ Leftrightarrow $ phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}
{Delta ‘ > 0}
{f(1) ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}
{6{m^2} + m > 0}
{ – 6m – 1 ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m > 0}
{m
end{array}} right.$ $(2).$
Tới đây chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: Với điều kiện $(2)$ phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ thoả mãn:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = 2}
{{x_1}.{x_2} = – frac{{5m + 1}}{m}}
end{array}} right..$
Ta có:
$yleft( {{x_1}} right) = frac{{mx_1^2 + 3m{x_1} + 2m + 1}}{{{x_1} – 1}}$ $ = 2m{x_1} + 3m.$
$yleft( {{x_2}} right) = frac{{mx_2^2 + 3m{x_2} + 2m + 1}}{{{x_2} – 1}}$ $ = 2m{x_2} + 3m.$
Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục $Ox$:
$ Leftrightarrow yleft( {{x_1}} right)yleft( {{x_2}} right)
$ Leftrightarrow {m^2}left[ {4{x_1}{x_2} + 6left( {{x_1} + {x_2}} right) + 9} right] $ Leftrightarrow {m^2} – 4m
Kết hợp $(2)$ và $(3)$ ta được $0
Vậy với $0
Cách 2: Sử dụng đồ thị.
Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục $Ox.$
$ Leftrightarrow y = 0$ vô nghiệm $ Leftrightarrow m{x^2} + 3mx + 2m + 1 = 0$ vô nghiệm.
$ Leftrightarrow Delta
$ Leftrightarrow 0
Kết hợp $(2)$ và $(4)$ ta được $0
Vậy với $0
Chọn đáp án C.

Bài tập 15. Cho hàm số: $y = 2x + left| {{x^2} – 4x + 4m} right|.$
a. Khảo sát sự biến thiên của hàm số với $m = 1.$
b. Tìm $m$ để hàm số có cực đại.
A. $m
B. $m
C. $m > 2.$
D. $1

a. Bạn đọc tự giải.
b. Nhận xét rằng hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có cực đại $ Leftrightarrow a
Xét $g(x) = {x^2} – 4x + 4m$, ta có $Delta ‘ = 4(1 – m).$
Ta đi xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu $Delta ‘ le 0$ $ Leftrightarrow 1 – m le 0$ $ Leftrightarrow m ge 1.$
Khi đó $g(x) ge 0$, $forall x$, vậy hàm số có dạng:
$y = {x^2} – 2x + 4m.$
Hàm số không thể có cực đại. Vậy không thoả mãn điều kiện đầu bài.
Trường hợp 2: Nếu $Delta ‘ > 0$ $ Leftrightarrow 1 – m > 0$ $ Leftrightarrow m
Khi đó $g(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt là: $x = 2 pm 2sqrt {1 – m} .$
Ta có bảng xét dấu của $g(x)$ như sau:

Nhận xét rằng:
+ Nếu $x le {x_1}$ hoặc $x ge {x_2}$ hàm số có dạng $y = {x^2} – 2x + 4m.$
Hàm số không thể có cực đại. Vậy không thoả mãn điều kiện đầu bài.
+ Nếu ${x_1}
Miền xác định $D = left( {{x_1};{x_2}} right).$
Đạo hàm: $y’ = – 2x + 6$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow – 2x + 6 = 0$ $ Leftrightarrow x = 3.$
Hàm số có cực đại khi:
${x_1}
Vậy với $m

Bài tập 16. Cho hàm số: $y = x + left| {{x^2} – 2x + 2m} right|.$
Tìm $m$ để hàm số có cực đại và số cực đại ${y_{CĐ}}
A. $0
B. $m > 2.$
C. $m
D. $ – frac{{43}}{4}

Xét $g(x) = {x^2} – 2x + m$, ta có $Delta ‘ = 1 – m.$
Ta đi xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu $Delta ‘ le 0$ $ Leftrightarrow 1 – m le 0$ $ Leftrightarrow m ge 1.$
Khi đó $g(x) ge 0$, $forall x$, vậy hàm số có dạng: $y = x + {x^2} – 2x + m$ $ Leftrightarrow y = {x^2} – x + m.$
Hàm số không thể có cực đại.
Vậy không thoả mãn điều kiện đầu bài.
Trường hợp 2: Nếu $Delta ‘ > 0$ $ Leftrightarrow 1 – m > 0$ $ Leftrightarrow m
Khi đó phương trình $g(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt là:
${x_1} = 1 – sqrt {1 – m} $ và ${x_2} = 1 + sqrt {1 – m} .$
Hàm số được viết lại dưới dạng: $y = left{ begin{array}{l}
{x^2} – x + m{rm{:với:}}x {x_2}
– {x^2} + 3x – m{rm{:với:}}{x_1} le x le {x_2}
end{array} right..$
Đạo hàm: $y’ = left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 1{rm{:với:}}x {x_2}}
{ – 2x + 3{rm{:với:}}{x_1} le x le {x_2}}
end{array}} right..$
Xét các khả năng:
a. Nếu $frac{1}{2} le 1 – sqrt {1 – m} $ thì $sqrt {1 – m} le frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow m ge frac{3}{4}$ $ Rightarrow {x_2} = 1 + sqrt {1 – m} le frac{3}{2}.$
Bảng biến thiên:

Hàm số không có cực đại.
b. Nếu $frac{1}{2} > 1 – sqrt {1 – m} $ thì $sqrt {1 – m} > frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow m frac{3}{2}.$
Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x = frac{3}{2}.$ Khi đó để ${y_{CĐ}}
$yleft( {frac{3}{2}} right) – frac{{43}}{4}.$
Vậy với $ – frac{{43}}{4}
Chọn đáp án D.

Bài tập 17. Cho hàm số: $y = frac{{x + a}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}.$ Tìm $a$ để:
a. Hàm số không có cực trị.
A. $a = 0.$
B. $a = 1.$
C. $a = 2.$
D. $a = 3.$
b. Hàm số có cực tiểu.
A. $a > 0.$
B. $a
C. $a > 1.$
D. $0

Xem thêm: Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ – Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng