Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì? Bài toán cách tìm tiếp tuyến hàm số

Rate this post

Tiếp tuyến đồ thị hàm số là một dạng toán thường gặp trong các bài toán hàm số thi THPT Quốc gia. Vậy định nghĩa tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì? Khái niệm phương trình tiếp tuyến? Các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số và bài tập điển hình? Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Định nghĩa tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì?

MỤC LỤC

Cho ( ( C ) ) là đồ thị của hàm số ( y = f ( x ) ) và điểm ( M ( x_0 ; y_0 ) ) nằm trên ( ( C ) ). Khi đó phương trình tiếp tuyến của ( ( C ) ) tại điểm ( M ) là :

( y=f’(x_0).(x-x_0) + f(x_0) )

Bạn đang đọc: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì? Bài toán cách tìm tiếp tuyến hàm số

Khi đó, ( f ’ ( x_0 ) ) là thông số góc của tiếp tuyến tại ( M ( x_0 ; y_0 ) )

tiep-tuyen-cua-do-thi-ham-so-1-1980302

Cách tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Trong những bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số, để tìm được tiếp tuyến thì mấu chốt là ta phải tìm được điểm tiếp xúc hay giá trị ( x_0 ) trong công thức trên .

Ví dụ:

Cho hàm số ( y = x ^ 4-2 x ^ 2 ) và điểm ( M ( x_0 ; y_0 ) ) thuộc đồ thị hàm số. Biết rằng ( y ’ ’ ( x_0 ) = 8 ). Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tại điểm ( M )

Cách giải:

Ta có :
( y ’ = 4 x ^ 3-4 x Leftrightarrow y ” = 12 x ^ 2-4 )
Vậy ( y ” ( x_0 ) = 8 Leftrightarrow 12 x_0 ^ 2-4 = 8 Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x_0 = 1 x_0 = – 1 end { array } right. )
Nếu ( x_0 = 1 ) thì ta có phương trình tiếp tuyến là :
( y = y ‘ ( x_0 ) ( x-x_0 ) + y ( x_0 ) = – 1 )
Tương tự, nếu ( x_0 = – 1 ) thì phương trình tiếp tuyến là :
( y = – 1 )
Vậy phương trình tiếp tuyến tại ( M ) là ( y = – 1 )

Các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết trước tiếp điểm

Đây là dạng bài cơ bản và hay gặp, tất cả chúng ta thay hoành độ của tiếp điểm vào công thức phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số là hoàn toàn có thể viết được phương trình tiếp tuyến một cách nhanh gọn .

tiep-tuyen-cua-do-thi-ham-so-2-5355430

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số ( y = x ^ 3 + 2 x ^ 2 ) tại điểm ( M ( 1 ; 3 ) )

Cách giải:

Cách 1: Đạo hàm ( y’= 3x^2 +4x )

Thay vào công thức phương trình tiếp tuyến ta được phương trình tiếp tuyến :
( y = ( 3 + 4 ) ( x-1 ) + 3 Leftrightarrow y = 7 x – 4 )

Cách 2:

tiep-tuyen-cua-do-thi-ham-so-3-2319032

Viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết trước hệ số góc ( k )

Bài toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số khi biết thông số góc k chính là dạng bài viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số khi biết phương .
Với dạng bài này, do thông số góc ( k = f ’ ( x_0 ) ) nên ta tìm được tiếp điểm ( ( x_0 ; y_0 ) ). Từ đó quy về dạng bài viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm .

***Chú ý: Cho đường thẳng ( Delta : y=ax+b ), khi đó:

Đường thẳng song song với ( Delta ) có thông số góc là ( a )
Đường thẳng vuông góc với ( Delta ) có thông số góc là ( frac { – 1 } { a } )

tiep-tuyen-cua-do-thi-ham-so-4-1-6987450

tiep-tuyen-cua-do-thi-ham-so-5-1-9218804

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( y = frac { 2 x + 1 } { x + 2 } ) và song song với đường thẳng ( Delta : y = 3 x + 3 )

Cách giải:

Đạo hàm ( y ’ = frac { 3 } { ( x + 2 ) ^ 2 } )
Gọi tiếp điểm là ( M ( x_0 ; y_0 ) ). Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng ( Delta : y = 3 x + 3 ) nên thông số góc : ( y ‘ ( x_0 ) = 3 )
( Leftrightarrow frac { 3 } { ( x + 2 ) ^ 2 } = 3 Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x = – 1 x = – 3 end { array } right. )
Thay vào công thức ta được hai phương trình tiếp tuyến :
[ Latex ] y = 3 x + 2 [ / latex ] và ( y = 3 x + 14 )

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Bước 1:Gọi ( M ( x_0 ; y_0 ) là tiếp điểm, viết phương trình tiếp tuyến theo [ latex ] x ; x_0 ) )
Bước 2:Thay tọa độ điểm đi qua vào phương trình trên, giải phương trình tìm được ( x_0 )
Bước 3:Viết phương trình tiếp tuyến .

Ví dụ:

Cho hàm số ( y = – 4 x ^ 3 + 3 x + 1 ). Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số đi qua điểm ( A ( – 1 ; 2 ) )

Cách giải:

Ta có : ( y ’ = – 12 x ^ 2 + 3 )
Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị tại điểm ( ( x_0 ; y_0 ) )

Khi đó phương trình tiếp tuyến là:

Xem thêm: Công thức tính thể tích khối nón chuẩn kèm ví dụ dễ hiểu

( y = ( – 12 x_0 ^ 2 + 3 ) ( x-x_0 ) – 4 x_0 ^ 3 + 3 x_0 + 1 )
Vì tiếp tuyến đi qua ( A ( – 1 ; 2 ) ) nên thay vào ta được :
( 2 = ( – 12 x_0 ^ 2 + 3 ) ( – 1 – x_0 ) – 4 x_0 ^ 3 + 3 x_0 + 1 )
( Leftrightarrow 8 x_0 ^ 3 + 12 x_0 ^ 2-4 = 0 )
( Leftrightarrow 4 ( x_0 + 1 ) ^ 2 ( 2 x_0 – 1 ) = 0 )
( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x_0 = – 1 x_0 = frac { 1 } { 2 } end { array } right. )
Thay vào ta được hai tiếp tuyến thỏa mãn nhu cầu bài toán là ( y = – 9 x + 7 ) và ( y = 2 )

Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứa tham số

Dạng bài chung là tìm điều kiện kèm theo của tham số ( m ) để phương trình tiếp tuyến của đồ thị thỏa mãn nhu cầu một điều kiện kèm theo cho trước .
Với dạng bài này thì ta thường sử dụng đến thông số góc ( f ’ ( x_0 ) ) để hoàn toàn có thể tìm điều kiện kèm theo của tham số .

Ví dụ:

Cho hàm số ( x ^ 4-2 ( m + 1 ) x ^ 2 + m + 2 ) và điểm ( A ( 1 ; 1 – m ) ) là điểm thuộc đồ thị hàm số. Tìm ( m ) để tiếp tuyến tại ( A ) của hàm số vuông góc với đường thẳng ( Delta x-4y+1 = 0 )

Cách giải:

Ta có đạo hàm : ( y ’ = 4 x ^ 3-4 ( m + 1 ) x )
( Rightarrow ) thông số góc của tiếp tuyến là ( y ’ ( 1 ) = – 4 m )
Ta có ( x-4y+1 = 0 Leftrightarrow y = frac { x } { 4 } + frac { 1 } { 4 } )
Vậy để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( Delta ) thì thông số góc của tiếp tuyến phải bằng ( – 4 )
( Rightarrow – 4 m = – 4 ) hay ( m = 1 )

Một số bài tập tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Sau đây là 1 số ít bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số để những bạn tự rèn luyện và làm bài .

Bài 1:

Cho đồ thị hàm số ( y = frac { 2 x + 1 } { x + 2 } ). Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết nó song song với đường thẳng ( Delta : y = 3 x + 2 )
Đáp số : ( y = 3 x + 14 )

Bài 2:

Viết phương trình đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số ( y = – 4 x ^ 3 + 3 x + 1 ) và đi qua điểm ( M ( – 1 ; 2 ) )
Đáp số : ( y = – 9 x – 7 ) và ( y = 2 )

Bài 3:

Tìm giá trị của tham số ( m ) để đồ thị hàm số ( y = frac { 2 x + 3 } { x + 1 } ) cắt đường thẳng ( y = 2 x + m ) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn nhu cầu tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó song song với nhau
Đáp số : ( m = 2 ) hoặc ( m = – 2 )

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề tiếp tuyến. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem thêm :
Tu khoa lien quan :