Tích phân suy rộng (Improper Integrals) | Maths 4 Physics & more… - HocVienKhoiNghiep.Edu.Vn
Rate this post
Shortlink : http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác định trên [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b

Bạn đang đọc: Tích phân suy rộng (Improper Integrals) | Maths 4 Physics & more…

Nếu sống sót số lượng giới hạn ( hữu hạn hoặc vô cùng ) :

mathop {lim }limits_{b to  + infty } intlimits_a^b {f(x)dx: = } intlimits_a^{ + infty } {f(x)dx}

Thì số lượng giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f ( x ) trên [ a ; + ∞ ) .

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng intlimits_a^{ + infty } {f(x)dx} là hội tụ (integral is convergent)

Nếu số lượng giới hạn này là vô cùng hoặc không sống sót ta nói tích phân suy rộng là phân kỳ ( integral is divergent ) .

Ví dụ: intlimits_1^{ + infty } {dfrac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} là hội tụ; intlimits_1^{ + infty } {dfrac{{dx}}{x}} là phân kỳ.

Thật vậy ta có :

1. intlimits_1^{+infty}{dfrac{dx}{1+x^2}}=limlimits_{b to +infty} intlimits_1^b{dfrac{dx}{1+x^2}}=limlimits_{b to infty}left(left.{arctanx}right|_{x=1}^bright)=limlimits_{b to +infty} left(arctanb - frac{pi}{4}right)=frac{pi}{4}

2. intlimits_1^{+infty}{dfrac{dx}{x}}=limlimits_{b to +infty} intlimits_{1}^{b}{dfrac{dx}{x}}=limlimits_{b to +infty} left. {lnx}right|_{x=1}^b = limlimits_{b to +infty} lnb = +infty.

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng: I = intlimits_0^{infty} t.e^{-2t} dt

Ta có: I = limlimits_{b to +infty} intlimits_0^{b} t.e^{-2t} dt (*)

– Trước tiên,  Tính tích phân: intlimits_0^b t.e^{-2t} dt

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có :

intlimits_0^b t.e^{-2t} dt = left( -dfrac{1}{2}t.e^{-2t} -dfrac{1}{4}e^{-2t} right)_{t=0}^b = left(-dfrac{1}{2}b.e^{-2b} -dfrac{1}{4}e^{-2b} + dfrac{1}{4}right)

Thế vào ( * ) ta có :

I = -dfrac{1}{4}limlimits_{b to infty} left((2b-1)e^{-2b} -1 right) = dfrac{1}{4}-dfrac{1}{4}limlimits_{b to infty} left( dfrac{2b-1}{e^{2b}}right) = dfrac{1}{4}

(do limlimits_{b to infty} dfrac{2b-1}{e^{2b}} underset{=}{L'H} limlimits_{b to infty} dfrac{2}{2e^{2b}} = 0 )

Vậy: I hội tụ và I = dfrac{1}{4}

1.2 Định nghĩa:

intlimits_{ - infty }^c {f(x)dx} : = mathop {lim }limits_{d to  - infty } intlimits_d^c {f(x)dx}

1.3 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân: mathopintlimits_a^{ + infty } {dfrac{{dx}}{{{x^s }}}} {rm{ a > 0 ; }}{rm{ s > 0}}” class=”latex” src=”https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cmathop%5Cint%5Climits_a%5E%7B+%2B+%5Cinfty+%7D+%7B%5Cdfrac%7B%7Bdx%7D%7D%7B%7B%7Bx%5Es+%7D%7D%7D%7D+%7B%5Crm%7B+a+%3E+0+%3B+%7D%7D%7B%5Crm%7B+s+%3E+0%7D%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002″/></p>
<p>Nếu <img alt= 1} ” class=”latex” src=”https://s0.wp.com/latex.php?latex=s+%5Crm%7B+%3E+1%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002″/> thì tích phân hội tụ.

Nếu s le 1 thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có: mathopintlimits_a^{+infty}{dfrac{dx}{x^s}} = limlimits_{c to +infty}intlimits_a^c{dfrac{dx}{x^s}} = limlimits_{c to +infty}{dfrac{1}{1 - s}} left[ {dfrac{1}{{{x^{s - 1}}}}} right]_{x=a}^c

Với s > 1. Khi đó :

limlimits_{c to +infty}{dfrac{1}{1-s}} left(dfrac{1}{c^{s-1}} - dfrac{1}{a^{s-1}}right) = dfrac{1}{1-s}left({0- dfrac{1}{a^{s-1}}}right) = dfrac{1}{s-1}.{dfrac{1}{a^{s-1}}}

Vậy chuỗi hội tụ .
Với s = 1 : theo ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ .
Với s limlimits_{c to +infty}{dfrac{1}{1-s}}left({dfrac{1}{c^{s-1}}}-{dfrac{1}{a^{s-1}}}right)= limlimits_{c to +infty}left[{dfrac{1}{1-s}}left({c^{1-s}- dfrac{1}{a^{s-1}}}right)right]= + infty (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ .

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f ( x ) và g ( x ) không âm và khả tích trên [ a, b ], và f ( x ) ≤ g ( x ) ở lân cận + ∞ ( tức là x đủ lớn ). Khi đó :

  1. Nếu intlimits_a^{ + infty } {g(x)dx} hội tụ thì tích phân hội tụ
  2. Nếu phân kỳ thì tích phân phân kỳ.

1.4.2 Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và cùng khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn).

Nếu mathop {lim }limits_{x to  + infty } dfrac{{f(x)}}{{g(x)}} = k (0 rm{< k} rm{< +infty} ) thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Nhận xét:

– Để xét sự hội tụ của tích phân intlimits_a^{+infty} f(x) dx, ta cần xây dựng hàm g(x) sao cho limlimits_{x to +infty} dfrac{f(x)}{g(x)} = 1. Nghĩa là, f(x) và g(x) là hai lượng tương đương.

Muốn vậy, ta cần nhận diện và thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) có trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả hai hàm f(x) và g(x) phải cùng khả tích trên [a; + ∞).

Xem thêm: Top 120+ tin nhắn gửi yêu thương ngọt ngào, lãng mạn ghi điểm trong lòng đối phương

1.5 Các ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

intlimits_2^{+infty}{dfrac{dx}{lnx}}.

Rõ ràng: hàm f(x) = dfrac{1}{lnx} là hàm số dương, xác định và liên tục với mọi x thuộc [2,+{infty}) .

Khi x to +{infty} : lnx là VCL nhưng không tìm được VCL tương đương tương ứng. Vì vậy, ta không dùng dấu hiệu so sánh 2.

Ta hoàn toàn có thể dùng tín hiệu so sánh 1. Muốn vậy, cần chặn hàm lnx. Ta thuận tiện có bất đẳng thức sau :

rm{lnx < } x, forall x ge 1

Vậy :

intlimits_2^{+{infty}}dfrac{dx}{lnx} ge intlimits_2^{infty} dfrac{dx}{x}

Vậy tích phân đã cho phân kỳ.( do tích phân intlimits_2^{infty} dfrac{dx}{x} phân kỳ).

Ví dụ 3

intlimits_{1}^{+{infty}}{dfrac{1}{{sqrt{1+x}}{sqrt[3]{1+x^2}}}}dx. $latex $

Xem xét hàm lấy tích phân, ta thấy :

Khi x to {infty}

{sqrt{1+x}} sim x^{frac{1}{2}}, {sqrt[3]{1+x^2}} sim x^{frac{2}{3}}

Vậy :

f(x) = dfrac{1}{{sqrt{1+x}}{sqrt[3]{1+x^2}}} sim dfrac{1}{x^{frac{7}{6}}} = g(x)

Mà f(x) và g(x) cùng khả tích trên [1;+∞) nên intlimits_1^{+infty} f(x) dxintlimits_1^{+infty} g(x) dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác: intlimits_1^{+infty} dfrac{1}{x^{frac{7}{6}}} dx hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ .

Ví dụ 4.

I_4=intlimits_0^{+infty}{dfrac{sqrt[3]{x}}{1+x^2}} dx. $latex $

Khi x to +infty ta có:

f(x) = dfrac{sqrt[3]{x}}{1+x^2} sim dfrac{x^{frac{1}{3}}}{x^2} = dfrac{1}{x^{frac{5}{3}}} = g(x)

Tuy nhiên, f(x) xác định và liên tục với mọi x ge 0, còn g(x) không xác định tại x = 0 nên ta chưa thể dùng dấu hiệu so sánh 2 được.

Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có :

I_4 = intlimits_0^{1} dfrac{sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx + intlimits_1^{infty} dfrac{sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx

– Do dfrac{sqrt[3]{x}}{1+x^2} xác định và liên tục trên [0;1] nên intlimits_0^1 dfrac{sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx là tích phân xác định nên hội tụ.

intlimits_1^{+infty} dfrac{sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx sim intlimits_1^{+infty} dfrac{dx}{x^{5/3}} nên hội tụ.

Vậy tích phân I4 hội tụ .

Đánh giá:

Chia sẻ:

Thích bài này:

Thích

Đang tải …

Xem thêm: Mối Quan Hệ Không Hoàn Hảo Full Tiếng Việt Bản Đẹp | Truyện Mới

Trang: 1 2 3

Bình luận