[SGK Scan] ✅ Nguyên hàm – Sách Giáo Khoa – Học Online Cùng https://thcsbevandan.edu.vn

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

Nguyên hàm –
Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì Với mỗi hằng số C, hàm số G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K. 2. ĐINH LÍ2Nếu F ( ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( ) trên K đều có dạng F ( ) + C, với C là một hằng số. Chứng minh. Giả sử G ( x ) cũng là một nguyên hàm của f ( ) trên K, tức là G ” ( A ) = f ( ), = K. Khi đó ( G ( A ) – F ( x ) = G ( A ) – F ( A ) = f ( x ) = f ( x ) = 0, e K. Vậy G ( x ) = F ( ) là một hàm số không đổi trên K. Ta có G ( x ) = F ( A ) = C → G ( A ) = F ( x ) + C. A. e. K. Hai định lí trên cho thấy : Nếu F ( ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì F ( x ) + C, Ce R là họ tổng thể những nguyên hàm của f ( ) trên K. Kí hiệuCHU Y Biểu thức f ( ) d chính là vi phân của nguyên hàm F ( ) của f ( ), vì dF ( ) = F ‘ ( ) d = f ( ) d . Ví dụ 2 a ) Võive ( – O : + o ), 2 dv = A + C b ). Với x = ( 0 : + ơO ), fods = ln s + C ’ ; c ). Với 1 = ( – OC : + … ), Icos { dI = Sin t + C. Tính chất của nguyên hàm TÍNH CHẤT 1 Jr ( tody – f ( x ) + C.Tính chất này được suy trực tiếp từ định nghĩa nguyên hàm. Ví dụ sau đây minh hoạ cho đặc thù đó. Ví dụ 3. ( cos x ) ’ dx = s-sinx ) dx = cos x + C.TÍNH CHẤT 2 ( k là hằng số khác 0 ). Chứng minh. Gọi F ( ) là một nguyên hàm của kf { ), ta có k / ( v ) = F ( v ) ( * ) r, 1. ) Vì k = 0, nên f ( x ) = F ( A ) = ( Từ đó, theo đặc thù 1 ta có kf ( a ) dy = Fo ) dx = “ ) — C ) = F ( x ) + KC ( CI e IR ) = F ( x ) + C ( vì C, tuỳ ý thuộc R và k z0 nên C = { C } tuỳ ý thuộc R ) skf ( x ) dx ( do ( * ) ). TÍNH CHẤT 3 f ( x ) g ( x ) ) dx | f ( x ) dx 士 Jg ( a ) dy. 4 عين * chứng tỏ. TÍnh chất 3. Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 sin + * trên khoảng chừng ( 0 ; + ơ ). Giải. Với = ( 0, # 2O ), ta cóÍ3sins — id = 3 | | sin xdx + 2 side = — 3 cos x + 2 ln x + C. 3. Sự sống sót nguyên hàm Ta thừa nhận định lí dưới đây, ĐINH LÍ3Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 95 Ví dụ 52 a ). Hàm số f ( x ) = o có nguyên hàm trên khoảng chừng ( 0 ; + … ) và 2. 5 joids – as x ’ dix ’ – ミ * + C.b ). Hàm số g ( x ) = có nguyên hàm trên từng khoảng chừng { { ft : ( K + 1 ) ft ) SITA ( K = 7 ) vàH — * = – cotx + C.sin x 4. Bảng nguyên hàm của một số ít hàm số thường gặp 5 Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại sốvà Giải tích 11 để điền những hàm số thích hợp vào cột bên phảf ‘ ( x ) f ( x ) + Cα ” inα ( α > 0, α = 1 ) COSA – sinx Từ bảng những đạo hàm, ta có bảng nguyên hàm sau đây. sode = C. sade = — + C ( a > 0, a z 1 ) lina = x + C. cos Adx = sin x + C ‘ div – ” ‘ ” – C ( απ – 1 ) isin di = — cos x + C C – – 1 dy – Ins – C 5 — dx = tan x + C COS A jeda = e + C f – 7 dx = – cot x + C L sin vVí dụ 6. Tính : a ) se — trên khoảng chừng ( 0 ; + ơC ) : b ) 3 cosa – 3 ’ ‘ ) de trên khoảng chừng ( – 2C : + ơC ). Giảia ) Vöixe ( 0 : + x ) tacó = 2 sx * dx + a2 l 2. + 3 × 3 + C = + 3 r + C.b ). Với = ( ~ C : + oo ) ta có3cos x – 3 * ) dx = 3 | cos Adix – s ’ dx3. – — + C = 3 sin x – l + C. 3. In 3 In 3 = 3 sin x – CHÚ Ý : Từ đây, nhu yếu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng chừng xác lập của nó. 7. Giải tích 12A 97 | | – PHƯONG PHÁP TÍNH NGUYÊN HAM1. Phương pháp đổi biến số6a ) Cho ! ) ” dx. Đặt u = = 1, hãy viết ( A-1 ) ” dr theo II và du. b ) Cho ! ” ody. Đặt = c ”, hãy viết “ ode theo I và d. ĐINH LÍ1Nếu | f ( u ) du = F ( u ) + C và u = u ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì | f ( u, v ) u ‘ ( x ) dy = F ( u ( x ) + C.Chứng minh. Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có ( F ( и ( x ) ) ) ” = F ” ( и ). и ” ( x ). Vì F ‘ ( t ) = f { u } = f { u ( ) ) nên ( F ( u ( ) ) ) ’ = f { u ( ) ) u ‘ ( ). Như vậy, công thức | f ( u ) du = F ( u ) + C đúng khi u là biến số độc lập thì cũng đúng khi u là một hàm số của biến số độc lập , HÊ QUẢVới u = a + b ( a z 0 ), ta cóF ( αA + b ) + C. ( / Ví dụ 7. Tính [ sin ( 3 – 1 ) d . Giải. Vì ssin u du = – cos II + C nên theo hệ quả ta có ssin ( 3 x — 1 ) dx = – cos ( 3 x – 1 ) + C. CHÚ Ý : Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u ( u = u ( ) ) thì sau khitính nguyên hàm, ta phải trở lại biến Y bắt đầu bằng cách thay u bởi u ( ). 7. Giải tích 12 _B Ví dụ 8. Tính | – ods. ( x + 1 ) Giải. Đặt u = x + 1 thì tỉ ’ = 1 và — ẽ dy được viết thành ldu. Khi đó, ( A + 1 ) nguyên hàm cần tính trở thành du 陆 品川 Judu — l + C. 3. Iլ ` 4. Thay u = + 1 vào tác dụng, ta được | d = + C. ( A + 1 ) ( x + 1 ) : 4 x + 1 32. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần7 Ta có ( x cos x ) ’ = cos. A – Asin v hay – A sin x = ( cos x ) ’ – cos x. Hãy tính f cos ) ’ da và Jeosad. Từ đó tính ] sin d , ĐINH LI 2N ếu hai hàm số u = u ( ) và V = V ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thìu ( x ) y ( x ) dx = u ( x ) vʻ ( x ) — u ‘ ( x ) y ( x ) dx. Chứng minh. Từ công thức đạo hàm của tích ( u ( X ) vʻ ( x ) ) ’ = u ‘ ( x ) vʻ ( x ) + u ( x ) v ‘ ( x ) hay u ( x ) v ‘ ( x ) = ( u ( x ) vʻ ( x ) ) ’ — u ‘ ( v ) vʻ ( x ), ta có u ( x ) y ( x ) dx fu ( x ) v ( x ) ) ’ de fu ‘ ( x ) v ( x ) dx. Vậy fu ( x ) ” ( x ) d = u ( x ) v ( x ) – u ‘ ( x ) y ( x ) dx. CHÚ ÝVì v ‘ ( x ) d = dv, u ’ ( ) dx = du, nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng sudv – I – svdu. Đó là công thức tính nguyên hàm từng phần. Ví dụ 9. Tínha ) sive’de b ) six cos xdx c ) sin vdiv. Giaiia ). Đặt u = x và dv = e ^ dx, ta có du = dx và v = e ^. Do đó јvede = ve * — fede = Ae ’ – e ’ + C.b ) Đặt II = và dV = cos d , ta được du = d và V = Sin_ . Vậy six cos x dx = A sin x — sin a dahay six cos x dx = x sin x + cos x + C.c ) Đặt u = ln , dw = dx, ta có du = | dx và = . Do đósin x dx = ln Y – jdv = x n x – x + C. 8 Cho P. ( A ) là đa thức của x. Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dự thích hợp vào ô trống theo chiêu thức tính nguyên hàm từng phần. Poe “ dx P A ) cos x dx, P A ) in dx. | и P. ( A ) dh ” e ” dixBời tộp 1. Trong những cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại ? a ) e ’ ’ và − e ” ’ ; b ) sin2A và sin ” Y : 2 o e ’ và * ノ 2. Tìm nguyên hàm của những hàm số sau : x + VA – 1 2 – 1 a ) f ( x ) = — : b ) f ( x ) =. . ; Nxe ’ 100S ử dụng chiêu thức đổi biến số, hãy tính … Sử dụng chiêu thức tính nguyên hàm từng phần, hãy tính … ?

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập