Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Lý thuyết chuyên đề và Bài tập

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học 10. Vậy hệ tọa độ mặt phẳng là gì? Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng lớp 10 cần ghi nhớ gì? Các phương pháp giải bài toán tọa độ trong mặt phẳng?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Lý thuyết hệ tọa độ trong mặt phẳng Oxy

Hệ tọa độ trong mặt phẳng là gì?

Hệ gồm 2 trục ( Ox, Oy ) vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc ( Oxy ) trong mặt phẳng với :

• ( Ox ) là trục hoành

  Bạn đang đọc: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Lý thuyết chuyên đề và Bài tập

• ( Oy ) là trục tung

Phương trình đường thẳng là gì?

Định nghĩa phương trình đường thẳng là gì?

Xem chi tiết >>> Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Cách viết phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

• Hai điểm bất kỳ ( A ( x_a ; y_a ) ; B ( x_b ; y_b ) ) với ( x_a neq x_b ) và ( y_a neq y_b )

( frac { x-x_a } { x_b-x_a } = frac { y-y_a } { y_b-y_a } )

• Hai điểm có cùng hoành độ ( A ( m ; y_a ) ; B ( m ; y_b ) )

( x = m Leftrightarrow x-m = 0 )

• Hai điểm có cùng tung độ ( A ( x_a ; m ) ; B ( x_b ; m ) )

( y = m Leftrightarrow y-m = 0 )

• Hai điểm thuộc hai trục tọa độ ( A ( a ; 0 ) ; B ( 0 ; b ) ) với ( a ; b neq 0 )

( frac { x } { a } + frac { y } { b } = 1 ) ( Phương trình đoạn chắn )

Phương trình đường thẳng đi qua điểm (M(x_0;y_0)) có hệ số góc ( k )

( y-y_0 = k ( x-x_0 ) )

Phương trình đường thẳng ( Delta ) đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với đường thẳng (d: Ax+By+C=0) cho trước

( Delta parallel d : Ax + By + C ’ = 0 ) với ( C neq C ’ )
( Delta bot d : – Bx + Ay + m = 0 )

Phương trình đường tròn là gì?

Phương trình tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn

Cho điểm ( M ( x_0 ; y_0 ) ) nằm trên đường tròn ( ( C ) : ( x-a ) ^ 2 + ( y-b ) ^ 2 = R ^ 2 ). Khi đó phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( ( C ) ) tại ( M ) là :
( ( x_0-a ) ( x-x_0 ) + ( y_0-b ) ( y-y_0 ) = 0 )
Chu vi đường tròn : ( C = 2 pi R )
Diện tích hình tròn trụ : ( S = pi R ^ 2 )

Xem chi tiết >>> Phương trình đường tròn qua phép tịnh tiến

Xem chi tiết >>> Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Xem chi tiết >>> Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng   

Phương trình đường Elip là gì?

Xem chi tiết >>> Phương trình Elip là gì? Tìm hiểu phương trình Elip

Phương pháp giải toán tọa độ trong mặt phẳng

Các bài toán liên quan đến đường thẳng

Dạng bài viết phương trình đường thẳng 

Chúng ta sử dụng những công thức ở phần trên để lập phương trình đường thẳng dựa vào những dữ kiện của đề bài

Ví dụ

Trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) cho tam giác ( ABC ) có ( A ( – 2 ; 1 ) ; B ( 2 ; 3 ) ; C ( 1 ; – 5 ) ). Viết phương trình đường phân giác trong của góc ( widehat { ABC } )

Cách giải 

Áp dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm bất kể ta có :
Phương trình đường thẳng ( AB : frac { x + 2 } { 4 } = frac { y-1 } { 2 } Leftrightarrow x-2y+4 = 0 )
Phương trình đường thẳng ( AC : frac { x + 2 } { 3 } = frac { y-1 } { – 6 } Leftrightarrow 2 x + y-3 = 0 )
Vậy vận dụng công thức phương trình đường phân giác ta có : phương trình đường phân giác trong của góc ( widehat { ABC } ) là :
( frac { x-2y+4 } { sqrt { 1 ^ 2 + 2 ^ 2 } } = frac { 2 x + y-3 } { sqrt { 2 ^ 2 + 1 ^ 2 } } )
( Leftrightarrow x + 3 y – 7 = 0 )

Dạng bài về khoảng cách

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( M ( x_0 ; y_0 ) ) và cách điểm ( A ( x_A ; y_A ) ) một khoảng chừng bằng ( h ) cho trước .

Ví dụ 

Lập phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm ( A ( 3 ; 4 ) ) và cách điểm ( B ( – 1 ; 1 ) ) một khoảng chừng bằng ( 4 )

Cách giải

Vì ( A ( 3 ; 4 ) in d Rightarrow ) phương trình tổng quát của đường thẳng ( d ) có dạng :
( a ( x-3 ) + b ( y-4 ) = 0 )
Khi đó :
( 4 = d ( B, d ) = frac { | – 4 a – 3 b | } { sqrt { a ^ 2 + b ^ 2 } } )
( Leftrightarrow 16 ( a ^ 2 + b ^ 2 ) = 16 a ^ 2 + 24 ab + 9 b ^ 2 )
( Leftrightarrow 7 b ^ 2 = 24 ab Leftrightarrow frac { a } { b } = frac { 7 } { 24 } )
Chọn ( left { begin { matrix } a = 7 b = 24 end { matrix } right. )
Vậy phương trình đường thẳng ( d ) là :
( 3 ( x-3 ) + 24 ( y-4 ) = 0 )
( Leftrightarrow 3 x + 24 y – 105 = 0 )

Dạng bài về góc khi viết phương trình đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( M ( x_0 ; y_0 ) ) và tạo với đường thẳng ( d ’ : Ax + By + C = 0 ) một góc bằng ( alpha )

Ví dụ 

Cho đường thẳng ( Delta : 3 x – 2 y + 1 = 0 ). Viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm ( M ( 1 ; 2 ) ) và tạo với ( Delta ) một góc ( 45 ^ { circ } )

Cách giải 

Vì ( M ( 1 ; 2 ) in d Rightarrow ) phương trình tổng quát của đường thẳng ( d ) có dạng :
( a ( x-1 ) + b ( y-2 ) = 0 )
Khi đó ta có :
( frac { 1 } { sqrt { 2 } } = cos ( d, Delta ) = frac { | 3 a – 2 b | } { sqrt { 3 ^ 2 + 2 ^ 2 }. sqrt { a ^ 2 + b ^ 2 } } )
( Leftrightarrow 13 ( a ^ 2 + b ^ 2 ) = 2 ( 9 a ^ 2-12 ab + 4 b ^ 2 ) )
( Leftrightarrow 5 a ^ 2-24 ab – 5 b ^ 2 = 0 )
( Leftrightarrow left { begin { matrix } frac { a } { b } = – frac { 1 } { 5 } frac { a } { b } = 5 end { matrix } right. )
Vậy ta chọn ( left [ begin { array } { l } ( a ; b ) = ( 1 ; – 5 ) ( a ; b ) = ( 5 ; 1 ) end { array } right. )
Vậy phương trình đường thẳng ( d ) là :
( left [ begin { array } { l } x-1-5 ( y-2 ) = 0 5 ( x-1 ) + y-2 = 0 end { array } right. )
( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x-5y+9 = 0 5 x + y-7 = 0 end { array } right. )

Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến đường tròn 

Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( M(x_0;y_0) ) trên đường tròn

Phương trình tiếp tuyến qua điểm ( N(x_N;y_N) ) nằm ngoài đường tròn

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Ví dụ 

Viết phương trình tiếp tuyến ( d ) của đường tròn ( ( C ) : x ^ 2 + y ^ 2 + 8 x + 4 y – 5 = 0 ) và đi qua điểm ( A ( 1 ; 2 ) ) .

Cách giải

( ( C ) : x ^ 2 + y ^ 2 + 8 x + 4 y – 5 = 0 Leftrightarrow ( x + 4 ) ^ 2 + ( y + 2 ) ^ 2 = 5 ^ 2 )
Vậy đường tròn ( ( C ) ) có tâm ( I ( – 4 ; – 2 ) ) và nửa đường kính ( R = 5 )
Vì ( A ( 1 ; 2 ) in d Rightarrow d : a ( x-1 ) + b ( y-2 ) = 0 )
Do ( d ) tiếp xúc với ( ( C ) ) nên ta có :
( 5 = d ( d, ( C ) ) = frac { | – 5 a – 4 b | } { sqrt { a ^ 2 + b ^ 2 } } )
( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } b = 0 9 b ^ 2 = 20 ab end { array } right. Leftrightarrow left [ begin { array } { l } b = 0 frac { a } { b } = frac { 9 } { 20 } end { array } right. )
Ta chọn :
( left [ begin { array } { l } ( a ; b ) = ( 1 ; 0 ) ( a ; b ) = ( 9 ; 20 ) end { array } right. )
Vậy phương trình đường thẳng ( d ) là :
( x-1 = 0 ) hoặc ( 9 x + 20 y – 49 = 0 )

Các bài toán liên quan đến phương trình Elip

Dạng bài viết phương trình Elip

Dạng bài tìm giao điểm giữa đường thẳng và Elip

Dạng bài tìm điểm trên Elip thỏa mãn điều kiện

Với dạng bài này ta sử dụng những đặc thù sau :

Ví dụ 

Cho elip ( ( E ) : frac { x ^ 2 } { 25 } + frac { y ^ 2 } { 4 } = 1 ). Tìm toàn bộ những điểm ( M ) trên ( ( E ) ) sao cho ( widehat { F_1MF_2 } = 60 ^ { circ } )

Cách giải 

Tọa độ hai tiêu điểm của ( ( E ) ) là :
( left { begin { matrix } F_1 ( – sqrt { 21 } ; 0 ) F_2 ( sqrt { 21 } ; 0 ) end { matrix } right. )
Giả sử ( M ( a ; b ) in ( E ) ) thỏa mãn nhu cầu ( widehat { F_1MF_2 } = 60 ^ { circ } )
Khi đó ta có :
( F_1F_2 ^ 2 = MF_1 ^ 2 + MF_2 ^ 2-2 MF_1MF_2. cos widehat { F_1MF_2 } )
( Leftrightarrow 84 = ( a – sqrt { 21 } ) ^ 2 + ( a + sqrt { 21 } ) ^ 2 + 2 b ^ 2 – sqrt { ( a – sqrt { 21 } ) ^ 2 + b ^ 2 }. sqrt { ( a + sqrt { 21 } ) ^ 2 + b ^ 2 } )
( Leftrightarrow 84 = 2 a ^ 2 + 2 b ^ 2 + 42 – sqrt { ( a ^ 2-21 ) ^ 2 + b ^ 4 + b ^ 2 ( 2 a ^ 2 + 42 ) } )
( Leftrightarrow 2 a ^ 2 + 2 b ^ 2 – sqrt { ( a ^ 2-21 ) ^ 2 + b ^ 4 + b ^ 2 ( 2 a ^ 2 + 42 ) } = 42 hspace { 1 cm } ( 1 ) )
Vì ( M in ( E ) ) nên ta có :
( frac { a ^ 2 } { 25 } + frac { b ^ 2 } { 4 } = 1 Leftrightarrow 4 a ^ 2 + 25 b ^ 2 = 100 )
( Leftrightarrow a ^ 2 = 25 – frac { 25 b ^ 2 } { 4 } )
Thay vào ( ( 1 ) ) giải phương trình một ẩn ( b ^ 2 ) ta được ( b ^ 2 = frac { 16 } { 21 } )
( Rightarrow a ^ 2 = frac { 25.17 } { 21 } )
Vậy có 4 điểm ( M ) thỏa mãn nhu cầu là :
( ( frac { 5 sqrt { 17 } } { sqrt { 21 } } ; frac { 4 } { sqrt { 21 } } ) ; ( – frac { 5 sqrt { 17 } } { sqrt { 21 } } ; frac { 4 } { sqrt { 21 } } ) ; ( frac { 5 sqrt { 17 } } { sqrt { 21 } } ; – frac { 4 } { sqrt { 21 } } ) ; ( – frac { 5 sqrt { 17 } } { sqrt { 21 } } ; – frac { 4 } { sqrt { 21 } } ) )

Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng khó và nâng cao

Dạng bài toán về các đường trong tam giác

Ví dụ 

Trong mặt phẳng ( Oxy ) cho tam giác ( ABC ) với điểm ( A ( 1 ; 1 ) ). Các đường cao hạ từ ( B, C ) lần lượt có phương trình là ( d_1 : 2 x – y + 8 = 0 ; d_2 : 2 x + 3 y – 6 = 0 ). Tìm tọa độ ( B, C ) và viết phương trình đường cao kẻ từ ( A )

Cách giải 

Ta có :
( d_1 bot AC Rightarrow AC : ( x-1 ) + 2 ( y-1 ) = 0 )
( Leftrightarrow x + 2 y – 3 = 0 )
( C = AC cap d_2 Rightarrow ) tọa độ của ( C ) là nghiệm của hệ phương trình :
( left { begin { matrix } x + 2 y – 3 = 0 2 x + 3 y – 6 = 0 end { matrix } right. )
( Leftrightarrow left { begin { matrix } x = 3 y = 0 end { matrix } right. Rightarrow C ( 3 ; 0 ) )
Tương tự ta có ( B ( – 17 ; 26 ) )
Từ đó ta có phương trình đường thẳng ( BC )
( frac { x-3 } { – 20 } = frac { y } { 26 } Leftrightarrow 13 x + 10 y + 39 = 0 )
Do đó phương trình đường cao từ ( A ) là :
( 10 ( x-1 ) – 13 ( y-1 ) = 0 Leftrightarrow 10 x – 13 y + 3-0 )

Dạng bài tập phương trình đường thẳng có tham số

Ví dụ 

Cho hai đường thẳng ( left { begin { matrix } d_1 : mx + ( m-1 ) y + 5 m = 0 d_2 : mx + ( m-1 ) y + 2 = 0 end { matrix } right. ). Tìm ( m ) để khoảng cách giữa hai đường thẳng là lớn nhất .

Cách giải 

Dễ thấy
( d_1 ) luôn đi qua điểm ( M ( – 5 ; 0 ) )
( d_2 ) luôn đi qua điểm ( N ( – 2 ; 2 ) )
Mặt khác
( d ( d_1, d_2 ) leq MN )
Nên để khoảng cách là lớn nhất thì ( MN bot d_1 )
( Leftrightarrow overrightarrow { MN }. overrightarrow { d_1 } = 0 Leftrightarrow 3 m + 2 ( m-1 ) = 0 )
( Leftrightarrow m = frac { 2 } { 5 } )

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết, một số dạng toán cũng như cách giải của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm qua video dưới đây về phương trình tham số của đường thẳng :

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm >>> Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian

Xem thêm >>> Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba

Xem thêm >>> Viết phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng

Rate this post

Please follow and like us :

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập