Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay – Toán lớp 12

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Dạng 1. Tính chất của tích phân

1. Phương pháp giải

Quảng cáo

Giả sử cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kể thuộc K. Khi đó ta có

Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì

Nếu ∀x ∈ [a, b]: f(x) ≥ g(x)

Nếu ∀x ∈ [a, b] nếu M ≤ f(x) ≤ N thì

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tích phân . Tính tích phân

A. I = 40 B. I = 10 C. I = 20 D. I = 5
Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Đặt

Đổi cận : với x = 0 => t = 0
Với x = 6 => t = 3
Ta có :

Suy ra:

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn
và
. Tính giá trị của biểu thức

A. P = 4 B. P = 16 C. P = 8 D. P = 10
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có :

Quảng cáo

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và
. Tính
.

A. I = 9 B. I = 1 C. I = − 1 D. I = − 9
Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có :

Kết hợp với giả thiết suy ra

Ví dụ 4. Cho
. Khi đó
bằng

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có :

Dạng 2. Tính trực tiếp

1. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
.

Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần :
• Bước 1 : Xác định F ( x ) là nguyên hàm của hàm số .
• Bước 2. Tính F ( b ) − F ( a ) .

Dạng 2.1. Hàm đa thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
bằng

A.I = 1 B.I = 2 C.I = 3 D. I = − 1
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Quảng cáo

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho
:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có :




Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn nhu cầu .

Ví dụ 3. Tích phân
bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có :

Ví dụ 5. Tích phân
bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Do x ∈ (1; 8) => x > 0 nên
. Vì vậy

Dạng 2.2. Hàm phân thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ví dụ 2. Tích phân
bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có :

Ví dụ 3. Cho tích phân
(a,b,c ∈ Q). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. a 0    D. a + b + c > 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có :

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính tích phân

A. 2 ln3 − ln2 B. ln3 − 2 ln2 C. 2 ln3 − 3 ln2 D. 3 ln2 + 2 ln3
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Cách 1 : ( Hệ số bất định )
Ta có :

Thay x = − 2 vào hai tử số : 3 = A và thay x = − 3 vào hai tử số : − B = − 1 suy ra B = 1

Do đó

Vậy :

Cách 2
Ta có :

Do đó

Dạng 2.3. Hàm căn thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ví dụ 2. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 3. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ví dụ 5. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Dạng 2.4. Hàm lượng giác

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
có giá trị là

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 2. Tích phân
có giá trị là

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có

Ví dụ 3. Giả sử

khi đó a+ b là

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Suy ra

Vậy

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Dạng 2.5. Hàm mũ, logarit

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Vậy:

Ví dụ 2. Tích phân
có giá trị là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có :

Ví dụ 3. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Thông tin cần biết