PHẦN II-MẶT NÓN- MẶT TRỤ-MẶT CẦU - HocVienKhoiNghiep.Edu.Vn
Rate this post

PHẦN II. MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU

Nội dung

Bạn đang đọc: PHẦN II-MẶT NÓN- MẶT TRỤ-MẶT CẦU

Hình vẽ

Đường thẳng USD d, Delta $ cắt nhau tại $ O $ và tạo thành góc $ beta USD với USD { { 0 } ^ { o } }

  • USD Delta $ gọi là trục .

  • USD d USD được gọi là đường sinh .

  • Góc USD 2 beta USD gọi là góc ở đỉnh .

  • 1_81-8147210

    Nội dung

    Hình vẽ

    Là phần khoảng trống được số lượng giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón .
    Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón. Đỉnh, dưới mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, dưới mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng .

    2_59-7046357

    Cho hình nón có chiều cao $ h, USD đường sinh USD l USD và nửa đường kính đáy USD r USD .

    • Diện tích xung quanh :

      của hình nón :

      3_53-1742892

    • Diện tích đáy ( hình tròn trụ ) :

      USD S USD

      đáy $ = pi { { r } ^ { 2 } } $

    • Diện tích toàn phần :

      của hình nón : USD { { S } _ { tp } } = pi rl + pi { { r } ^ { 2 } } $

    • Thể tích khối nón

      : USD V = frac { 1 } { 3 } pi { { r } ^ { 2 } } h USD

    Điều kiện

    Kết quả

    Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp $left( Q right)$ đi qua đỉnh của mặt nón.

    • USD mp left ( Q right ) USD cắt mặt nón theo 2 đường sinh .

    • USD mp left ( Q right ) USD

      tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh .

    • Thiết diện là tam giác cân .

    • $ left ( Q right ) USD

      là mặt phẳng tiếp diện của hình nón .

    Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp ( Q )  không đi qua đỉnh của mặt nón.

    • USD mp left ( Q right ) USD vuông góc với trục hình nón .

    • USD mp left ( Q right ) USD song song với 2 đường sinh hình nón .

    • USD mp left ( Q right ) USD song song với 1 đường sinh hình nón .

    • Giao tuyến là 1 đường parabol .

    • Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol .

    • Giao tuyến là một đường tròn .

    2 .

    MẶT TRỤ TRÒN XOAY

    Nội dung

    Hình vẽ

    Trong mặt phẳng $ left ( P right ) USD cho hai đường thẳng $ Delta $ và USD l USD song song với nhau, cách nhau một khoảng chừng bằng USD r USD. Khi quay mặt phẳng $ left ( P right ) USD xung quanh $ Delta $ thì đường thẳng USD l USD sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ .

    • Đường thẳng $ Delta $ gọi là trục .

    • Đường thẳng USD l USD là đường sinh .

    • USD r USD là nửa đường kính của mặt trụ đó .

    4_49-9544645

    2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

    Nội dung

    Hình vẽ

    Ta xét hình chữ nhật USD ABCD USD. Khi quay hình chữ nhật $ ABCD $ xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó, ví dụ điển hình cạnh AB thì đường gấp khúc $ ABCD $ sẽ tạo thành một hình gọi là hình tròn trụ tròn xoay, hay gọi tắt là hình tròn trụ .

    5_48-2895397

    • Khi quay quanh $ AB, USD

      hai cạnh $ AD $

      và $ BC $ sẽ vạch ra hai hình tròn trụ bằng nhau gọi là hai đáy của hình tròn trụ, nửa đường kính của chúng gọi là nửa đường kính của hình tròn trụ .

    • Độ dài đoạn $ CD $ gọi là độ dài đường sinh của hình tròn trụ .

    • Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi những điểm trên cạnh $ CD $ khi quay xung quanh $ AB $ gọi là mặt xung quanh của hình tròn trụ .

    • Khoảng cách $ AB $ giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình tròn trụ .

    Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần khoảng trống được số lượng giới hạn bởi một hình tròn trụ tròn xoay kể cả hình tròn trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình tròn trụ tương ứng gọi là những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, độ cao, đường sinh, nửa đường kính của một hình tròn trụ cũng là mặt dưới, độ cao, đường sinh, nửa đường kính của khối trụ tương ứng. Hình trụ có chiều cao $ h, USD đường sinh USD l USD và nửa đường kính đáy USD r. $

    • Diện tích xung quanh : USD { { S } _ { xq } } = 2 pi rl USD

    • Diện tích toàn phần : USD { { S } _ { tp } } = 2 pi rl + 2 pi { { r } ^ { 2 } } $

    • Thể tích : USD V = pi { { r } ^ { 2 } } h USD

    3 .

    MẶT CẦU – KHỐI CẦU

    Nội dung

    Hình vẽ

    Cho điểm USD I USD cố định và thắt chặt và một số ít thực dương $ R $ .
    Tập hợp tổng thể những điểm USD M $ trong khoảng trống cách USD I USD một khoảng chừng USD R USD được gọi là mặt cầu tâm USD I, USD nửa đường kính $ R. $

    Kí hiệu: $Sleft( I;R right)$ Khi đó:

    USD S left ( I ; R right ) = left { M | IM = R right } $

    6_38-2662087

    Cho mặt cầu $Sleft( I;R right)$ và mặt phẳng $left( P right)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $left( P right)Rightarrow d=IH$  là khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $left( P right)$. Khi đó:

    USD d > R $ USD d = R $

    $d
    $>

    Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung .

    Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: $left( P right)$ là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và $H:$ tiếp điểm.

    Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm USD I ‘ $ và nửa đường kính USD r = sqrt { { { R } ^ { 2 } } – I { { H } ^ { 2 } } } $

    7_32-2639130

    8_25-1376970

    9_23-2340141

    Lưu ý:

    Khi mặt phẳng $left( P right)$ đi qua tâm $I$ của mặt cầu thì mặt phẳng $left( P right)$ được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

    Cho mặt cầu $ S left ( I ; R right ) USD và đường thẳng USD Delta USD. Gọi $ H $ là hình chiếu của USD I USD lên USD Delta USD. Khi đó :

    USD IH > R USD USD IH = R $

    $IH
    $>

    USD Delta $ không cắt mặt cầu . USD Delta $ tiếp xúc với mặt cầu .

    $Delta $: Tiếp tuyến của $left( S right)$

    $H:$ tiếp điểm.

    USD Delta $ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt .

    10_24-6577247

    11_29-6178021

    12_13-1919062

    Lưu ý:

    Trong trường hợp $Delta $ cắt $left( S right)$  tại 2 điểm $A,B$ thì  bán kính $R$ của $left( S right)$ được tính như sau: $left{ begin{array}{l}
    dleft( {I;Delta } right) = IH
    R = sqrt {I{H^2} + A{H^2}}  = sqrt {I{H^2} + {{left( {frac{{AB}}{2}} right)}^2}} 
    end{array} right.$

    Nội dung

    Hình vẽ

    Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến .
    Giao tuyến ( nếu có ) của mặt cầu với những mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu .
    Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu

    13_19-1729308

    * Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện :

    Nội dung

    Hình vẽ

    Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tổng thể những mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu .

    14_16-3230625

    Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tổng thể những đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu .
    Mặt cầu tâm $ O $ nửa đường kính USD r USD ngoại tiếp hình chóp $ S.ABCD $ khi và chỉ khi
    USD OA = OB = OC = OD = OS = r USD

    15_16-3437745

    Cho mặt cầu $ S left ( I ; R right ) USD

    • Diện tích mặt cầu :

      . USD S = 4 pi { { R } ^ { 2 } } $

    • Thể tích khối cầu :

      USD V = frac { 4 } { 3 } pi { { R } ^ { 3 } } $

    4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng

    Nội dung

    Hình vẽ

    Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân.

    16_17-7450159

    Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.

    17_10-8874722

    Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón.

    18_21-4575403

    4.1.2. Dạng 2.  Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón

    Cho hình nón có chiều cao là h, nửa đường kính đáy r và đường sinh l .
    Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d

    Nội dung

    Hình vẽ

    Gọi USD M $ là trung điểm của $ AC. $ Khi đó :

    •  

      USD AC bot left ( SMI right ) USD

    • Góc giữa $ left ( SAC right ) USD và $ left ( ABC right ) USD là góc $ widehat { SMI } $ .

    • Góc giữa $ left ( SAC right ) USD

      và $ SI $ là góc $ widehat { MSI } $ .

    • USD d left ( I, left ( SAC right ) right ) = IH = d USD

    Diện tích thiết diện

    USD { { S } _ { td } } = { { S } _ { Delta ABC } } = frac { 1 } { 2 } SM.AC = frac { 1 } { 2 } sqrt { S { { I } ^ { 2 } } + I { { M } ^ { 2 } } }. 2 sqrt { A { { I } ^ { 2 } } – I { { M } ^ { 2 } } } $
    USD = sqrt { { { r } ^ { 2 } } – frac { { { h } ^ { 2 } } { { d } ^ { 2 } } } { { { h } ^ { 2 } } – { { d } ^ { 2 } } } }. sqrt { { { h } ^ { 2 } } + frac { { { h } ^ { 2 } } { { d } ^ { 2 } } } { { { h } ^ { 2 } } – { { d } ^ { 2 } } } } $

    19_18-3048774

    4.1.3. Dạng 3.  Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp

    Nội dung

    Hình vẽ

    Hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABCD$ đều là hình nón có đỉnh là $S$, đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$.

    Khi đó hình nón có :

    • Bán kính đáy USD r = IM = frac { AB } { 2 } $

    • Đường cao USD h = SI $, đường sinh USD l = SM $

    Hình chóp tứ giác đều 

    S.ABCD

    20_15-6042890

    Hình nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ đều là hình nón có đỉnh là $S$, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$.

    Khi đó hình nón có :

    • Bán kính đáy : USD r = IA = frac { AC } { 2 } = frac { AB sqrt { 2 } } { 2 } $

    • Chiều cao : USD h = SI $

    • Đường sinh : USD l = SA $

    Hình chóp tứ giác đều 

    S.ABCD

    21_22-3488559

    Hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABC$ đều là hình nón có đỉnh là $S$, đáy là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

    Khi đó hình nón có

    • Bán kính đáy : USD r = IM = frac { AM } { 3 } = frac { AB sqrt { 3 } } { 6 } $

    • Chiều cao : USD h = SI $

    • Đường sinh : USD l = SA $

    Hình chóp tam giác đều $S.ABC$

    22_14-4969758

    Hình nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ đều là hình nón có đỉnh là $S$, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

    Khi đó hình nón có :

    • Bán kính đáy : USD r = IA = frac { 2AM } { 3 } = frac { AB sqrt { 3 } } { 3 } $

    • Chiều cao : USD h = SI $

    Đường sinh : USD l = SA $

    Hình chóp tam giác đều $S.ABC$

    0_5-8392113

    4.1.4. Dạng 4.  Bài toán hình nón cụt

    Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt.

    Nội dung

    Hình vẽ

    Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì được mặt phẳng cắt là một hình tròn trụ .

    23_12-1448655

    Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với trục thì được mặt phẳng cắt là một hình thang cân .

    24_18-7114102

    Cho hình nón cụt có $ R, r, h USD lần lượt là nửa đường kính đáy lớn, nửa đường kính đáy nhỏ và chiều cao .
    Diện tích xung quanh của hình nón cụt :
    USD { { S } _ { xq } } = pi l left ( R + r right ) USD
    Diện tích đáy ( hình tròn trụ ) :
    USD S USD đáy 1 $ = pi { { r } ^ { 2 } } $ ; $ S $ đáy 2 $ = pi { { r } ^ { 2 } } $ $ Rightarrow sum limits_ { { } } ^ { { } } { S } $ đáy $ = pi left ( { { r } ^ { 2 } } + { { R } ^ { 2 } } right ) USD
    Diện tích toàn phần của hình nón cụt :
    USD { { S } _ { tp } } = pi lambda left ( R + r right ) + pi { { r } ^ { 2 } } + pi { { R } ^ { 2 } } $
    Thể tích khối nón cụt :
    USD V = frac { 1 } { 3 } pi h left ( { { R } ^ { 2 } } + { { r } ^ { 2 } } + Rr right ) USD

    25_21-9225455

    4.1.5. Dạng 5.  Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt

    Nội dung

    Hình vẽ

    Từ hình tròn trụ $ left ( O ; R right ) USD cắt bỏ đi hình quạt USD AmB. $ Độ dài cung $ overset frown { AnB } $ bằng USD x. $ Phần còn lại của hình tròn trụ ghép lại được một hình nón. Tìm nửa đường kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đó .
    Hình nón được tạo thành có

                $left{ begin{array}{l}
    l = R
    2pi r = x Rightarrow r = frac{{2pi }}{x}
    h = sqrt {{l^2} – {r^2}} 
    end{array} right.$

     26_18-8445244   

    4.2.1. Dạng 1.  Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng

    Nội dung

    Hình vẽ

    Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính $R$

    Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật $ABCD$ trong đó $AB=2R$ và $AD=h$. Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông thì $h=2R$.

    Thiết diện song song với trục không chứa trục là hình chữ nhật $BGHC$ có khoảng cách tới trục là: $dleft( OO’;left( BGHC right) right)=OM$

        27_21-3103076

    4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy

    Nội dung

    Hình vẽ

    Nếu như $ AB $ và $ CD $ là hai đường kính bất kể trên hai đáy của hình tròn trụ thì :
    USD { { V } _ { ABCD } } = frac { 1 } { 6 } AB.CD.OO ‘. sin left ( AB, CD right ) USD
    * Đặc biệt :
    Nếu $ AB $ và $ CD $ vuông góc nhau thì :

    ${{V}_{ABCD}}=frac{1}{6}AB.CD.OO’$

    Xem thêm: Công Thức Tính Thể Tích Khối Cầu Nhanh Và Chính Xác Nhất – VUIHOC

       28_17-8501956

    4.2.3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cách

    Nội dung

    Hình vẽ

    Góc giữa $ AB $ và trục $ OO ‘ $ :
    $ left ( widehat { AB, OO ‘ } right ) = widehat { A’AB } $

       29_17-7012917

    Khoảng cách giữa $ AB $ và trục $ OO ‘ $ :
    USD d left ( AB ; OO ‘ right ) = OM $

    30_19-9988183

    Nếu $ ABCD $ là một hình vuông vắn nội tiếp trong hình tròn trụ thì đường chéo của hình vuông vắn cũng bằng đường chéo của hình tròn trụ .
    Nghĩa là cạnh hình vuông vắn :
    USD AB sqrt { 2 } = sqrt { 4 { { R } ^ { 2 } } + { { h } ^ { 2 } } } $

    31_32-5382974

    4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu

    Nội dung

    Hình vẽ

    Một khối trụ có thể tích $ V $ không đổi .

    • Tìm nửa đường kính đáy và chiều cao hình tròn trụ để diện tích quy hoạnh toàn phần nhỏ nhất :

     ${S_{tp;min }} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
    R = sqrt[3]{{frac{V}{{4pi }}}}
    h = 2sqrt[3]{{frac{V}{{4pi }}}}
    end{array} right.$

    • Tìm nửa đường kính đáy và chiều cao hình tròn trụ để diện tích quy hoạnh xung quanh cộng với diện tích quy hoạnh 1 đáy và nhỏ nhất :

    ${S_{min }} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
    R = sqrt[3]{{frac{V}{pi }}}
    h = sqrt[3]{{frac{V}{pi }}}
    end{array} right.$

     32_20-1283869   

    4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng

    Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình tròn trụ. Thể tích khối lăng trụ là $ V $ thì thể tích khối trụ là USD { { V } _ { left ( T right ) } } = frac { 4 pi V } { 9 } $
    Cho hình lăng trụ tứ giác đêu $ ABCD.A ‘ B’C ‘ D ‘ $ ngoại tiếp trong một hình tròn trụ. Diện tích xung quanh hình tròn trụ là USD { { S } _ { xq } } $ thì diện tích quy hoạnh xung quanh của hình lăng trụ là USD { { S } _ { aq } } = frac { 2S } { pi } $

    5.1.1. Các khái niệm cơ bản

    Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy 0_7-2061201  Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.

    Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

    Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng .

    Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

    Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng .

    5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

    Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm $I$ của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.

    Bán kính: là khoảng cách từ $I$ đến các đỉnh của hình chóp.

    5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện

    5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

    Nội dung

    Hình vẽ

    Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) $Rightarrow $ Tâm là $I$, là trung điểm của $AC’$.

    Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

    USD Rightarrow $ Bán kính : USD R = frac { AC ‘ } { 2 } $

    33_23-1133458     

    5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn

    Nội dung

    Hình vẽ

    Xét hình lăng trụ đứng $ { { A } _ { 1 } } { { A } _ { 2 } } { { A } _ { 3 } } … { { A } _ { n } }. A_ { 1 } ^ { ‘ } A_ { 2 } ^ { ‘ } A_ { 3 } ^ { ‘ } … A_ { n } ^ { ‘ } $, trong đó có 2 đáy $ { { A } _ { 1 } } { { A } _ { 2 } } { { A } _ { 3 } } … { { A } _ { n } } $ và USD A_ { 1 } ^ { ‘ } A_ { 2 } ^ { ‘ } A_ { 3 } ^ { ‘ } … A_ { n } ^ { ‘ } $ nội tiếp đường tròn $ left ( O right ) USD và $ left ( O ‘ right ) USD. Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có :

    • Tâm

      : USD I $ với USD I ‘ $ là trung điểm của $ OO ‘ $ .

    • Bán kính

      : USD R = I { { A } _ { 1 } } = I { { A } _ { 2 } } = … = IA_ { n } ^ { ‘ } $

        34_20-1880607

    5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông

    Nội dung

    Hình vẽ

    Hình chóp $ S.ABC $ có $ widehat { SAC } = widehat { SBC } = { { 90 } ^ { 0 } } $ .

    • Tâm : USD I $ là trung điểm của $ SC $ .

    • Bán kính : USD R = frac { SC } { 2 } = IA = IB = IC $

    Hình chóp $ S.ABCD $ có
    USD widehat { SAC } = widehat { SBC } = widehat { SDC } = { { 90 } ^ { 0 } } $ .

    • Tâm : USD I USD

      là trung điểm của $ SC $ .

    • Bán kính : USD R = frac { SC } { 2 } = IA = IB = IC = ID $

        35_8-8143595

    5.1.3.4. Hình chóp đều

    Nội dung

    Hình vẽ

    Cho hình chóp đều $ S.ABC. .. $

    • Gọi $ O $

      là tâm của đáy $ Rightarrow SO USD

      là trục của đáy .

    • Trong mặt phẳng xác lập bởi $ SO $ và một cạnh bên, ví dụ điển hình như $ mp left ( SAO right ) USD, ta vẽ đường trung trực của cạnh $ SA $ là $ Delta $ cắt $ SA $ tại USD M $ và cắt $ SO $ tại USD I Rightarrow I USD

      là tâm của mặt cầu .

    Bán kính :
    Ta có : USD Delta SMI backsim Delta SOA Rightarrow frac { SM } { SO } = frac { SI } { SA } Rightarrow $
    Bán kính : USD R = IS = frac { SM.SA } { SO } = frac { S { { A } ^ { 2 } } } { 2SO } = IA = IB = IC = … USD

     36_25-8143276

    5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

    Nội dung

    Hình vẽ

    Cho hình chóp $ S.ABC. .. $ có cạnh bên $ SA bot left ( ABC. .. right ) USD và đáy $ ABC. .. $ nội tiếp được trong đường tròn tâm $ O $ .
    Tâm và nửa đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $ S.ABC. .. $ được xác lập như sau :

    • Từ tâm $ O $ ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ đường thẳng USD d USD vuông góc với USD mp left ( ABC. .. right ) USD tại USD O $ .

    • Trong USD mp left ( d, SA right ) USD, ta dựng đường trung trực USD Delta $

      của cạnh

      $ SA $

      , cắt $ SA $

      tại

      USD M USD

      , cắt

      USD d USD

      tại USD I Rightarrow I $ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và nửa đường kính

    USD R = IA = IB = IC = IS = … USD

    • Tìm nửa đường kính

    Ta có : $ MIOB $ là hình chữ nhật .
    Xét USD Delta MAI $ vuông tại USD M $ có :
    USD R = AI = sqrt { M { { I } ^ { 2 } } + M { { A } ^ { 2 } } } = sqrt { A { { O } ^ { 2 } } + { { left ( frac { SA } { 2 } right ) } ^ { 2 } } } $

    37_21-8933830

    5.1.3.6. Hình chóp khác

    0_8-8375099

    5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp

    Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác lập trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác lập tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán .

    38_18-8639636

    5.2. Kỹ thuật xác lập mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

    Nội dung

    Hình vẽ

    Cho hình chóp $ S. { { A } _ { 1 } } { { A } _ { 2 } } … { { A } _ { n } } $ ( thoả mãn điều kiện kèm theo sống sót mặt cầu ngoại tiếp ). Thông thường, để xác lập mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta triển khai theo hai bước :

    • Bước 1

      :

    Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng USD Delta $ : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy .

    • Bước 2

      :

    Lập mặt phẳng trung trực $ left ( alpha right ) USD của một cạnh bên .
    Lúc đó

    • Tâm $ O $ của mặt cầu : USD Delta cap mp left ( alpha right ) = left { O right } $

    • Bán kính : USD R = SA left ( = SO right ). $ Tuỳ vào từng trường hợp .

    39_22-6761577    

    5.3.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

    Nội dung

    Hình vẽ

    Định nghĩa

    Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy .

    Tính chất

    USD forall M in Delta : MA = MB = MC $
    Suy ra : USD MA = MB = MC Leftrightarrow M in Delta $

    Các bước xác định trục

    • Bước 1 :

    Xác định tâm $ H $ của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy .

    • Bước 2 :

    Qua $ H $ dựng $ Delta $ vuông góc với mặt phẳng đáy .

    Một số trường hợp đặc biệt

    • Đáy là tam giác vuông

    • Đáy là tam giác đều

    • Đáy là tam giác thường

      40_25-7195189

    41_23-6254072  

    42_23-8600057

    43_17-7810519

    5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng

    Nội dung

    Hình vẽ

    USD Delta SMO $ đồng dạng với USD Delta SIA Rightarrow frac { SO } { SA } = frac { SM } { SI } $

       44_23-7866940

    5.3.3. Nhận xét quan trọng

    $exists M,S:;left{ begin{array}{l}
    MA = MB = MC
    SA = SB = SC
    end{array} right. Rightarrow SM$ là trục đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC$.

    Nội dung

    Hình vẽ

    Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}…{{A}_{n}}$ (thõa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

    • Bước 1 :

    Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng USD Delta $ : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy .

    • Bước 2 :

    Xác định trục USD d USD của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên ( dễ xác lập ) của khối chóp .
    Lúc đó :

    • Tâm USD I $ của mặt cầu : USD Delta cap d = left { I right } $

    • Bk : USD R = IA left ( = IS right ) USD. Tuỳ vào từng trường hợp .

       45_21-5652178

    5.5.1. Dạng 1

    Nội dung

    Hình vẽ

    Cạnh bên SA vuông góc đáy và $ widehat { ABC } = { { 90 } ^ { 0 } } $ khi đó USD R = frac { SC } { 2 } $ và tâm là trung điểm USD SC $ .

    46_21-9166223   

    5.5.2. Dạng 2

    Nội dung

    Hình vẽ

    Cạnh bên $ SA $ vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ cần tìm được nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là USD { { R } _ { D } } $, khi đó : USD { { R } ^ { 2 } } = R_ { D } ^ { 2 } + frac { S { { A } ^ { 2 } } } { 4 } $

    •  

      USD { { R } _ { D } } = frac { abc } { 4 sqrt { p left ( p-a right ) left ( p-b right ) left ( p-c right ) } } $ ( USD p USD :

      nửa

      chu vi ) .

    • Nếu USD Delta ABC $ vuông tại $ A $ thì : USD { { R } _ { D } } = frac { 1 } { 4 } left ( A { { B } ^ { 2 } } + A { { C } ^ { 2 } } + A { { S } ^ { 2 } } right ) USD

    • Đáy là hình vuông vắn cạnh USD a $ thì USD { { R } _ { d } } = frac { a sqrt { 2 } } { 2 } $

    • nếu đáy là tam giác đều cạnh USD a $ thì USD { { R } _ { D } } = frac { a sqrt { 3 } } { 3 } $

    47_20-7685976

    5.5.3. Dạng 3

    Nội dung

    Hình vẽ

    Chóp có những cạnh bên bằng nhau : $ SA = SB = SC = SD $ :
    USD R = frac { S { { A } ^ { 2 } } } { 2SO } $

    • USD ABCD $ là hình vuông vắn, hình chữ nhật, khi đó $ O $ là giao hai đường chéo .

    • USD Delta ABC $ vuông, khi đó $ O $ là trung điểm cạnh huyền .

    • USD Delta ABC $ đều, khi đó $ O $ là trọng tâm, trực tâm .

    48_19-6881777

    5.5.4. Dạng 4

    Nội dung

    Hình vẽ

    Hai mặt phẳng $ left ( SAB right ) USD và $ left ( ABC right ) USD vuông góc với nhau và có giao tuyến USD AB USD. Khi đó ta gọi USD { { R } _ { 1 } }, { { R } _ { 2 } } $ lần lượt là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp những tam giác $ SAB $ và USD ABC USD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp :

    ${{R}^{2}}={{R}_{1}}^{2}+{{R}_{2}}^{2}-frac{A{{B}^{2}}}{4}$

    49_17-2873502

    5.5.5. Dạng 5

    Chóp $ S.ABCD $ có đường cao $ SH $, tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là USD O USD. Khi đó ta giải phương trình : USD { { left ( SH-x right ) } ^ { 2 } } + O { { H } ^ { 2 } } = { { x } ^ { 2 } } + R_ { D } ^ { 2 } USD. Với giá trị USD x USD tìm được ta có : USD { { R } ^ { 2 } } = { { x } ^ { 2 } } + R_ { D } ^ { 2 } $

    5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: $r=frac{3V}{{{S}_{tp}}}$

    6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY

    6.1. Chỏm cầu

    Nội dung

    Hình vẽ

    $left{ begin{array}{l}
    {S_{xq}} = 2pi Rh = pi left( {{r^2} + {h^2}} right)
    V = pi {h^2}left( {R – frac{h}{3}} right) = frac{{pi h}}{6}left( {{h^2} + 3{r^2}} right)
    end{array} right.$

    50_33-2632987

    6.2. Hình trụ cụt

    Nội dung

    Hình vẽ

    $left{ begin{array}{l}
    {S_{xa}} = pi rleft( {{h_1} + {h_2}} right)
    V = pi {R^2}left( {frac{{{h_1} + {h_2}}}{2}} right)
    end{array} right.$

    51_1-6484693

    6.3. Hình nêm loại 1

    Nội dung

    Hình vẽ

    $V=frac{2}{3}{{R}^{3}}tan alpha $

     52_2-8682479

    6.4. Hình nêm loại 2

    Nội dung

    Hình vẽ

    $V=left( frac{pi }{2}-frac{2}{3} right){{R}^{3}}tan alpha $

     53-6011029

    6.5 .

    Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay

    Nội dung

    Hình vẽ

    $left{ begin{array}{l}
    {S_{parabol}} = frac{4}{3}Rh;;frac{{S’}}{S} = {left( {sqrt {frac{x}{h}} } right)^3} = {left( {frac{a}{r}} right)^3}
    v = frac{1}{2}pi {R^2}h = frac{1}{2}{V_{tru}}
    end{array} right.$

       54-2337643

    6.6 .

    Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip

    Nội dung

    Hình vẽ

    $left{ begin{array}{l}
    {S_{elip}} = pi ab
    {V_{xoay;quanh;2a}} = frac{4}{3}pi a{b^2}
    {V_{xoay;quanh;2b}} = frac{4}{3}pi {a^2}b
    end{array} right.$

       55-3592683

    6.7 .

    Diện tích hình vành khăn

    Nội dung

    Hình vẽ

    $S=pi left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} right)$

       56-5628260

    Nội dung

    Hình vẽ

    $V=2{{pi }^{2}}left( frac{R+r}{2} right){{left( frac{R-r}{2} right)}^{2}}$

    57-8615724

      

    Xem thêm: ✅ Công thức nguyên hàm ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️

    Source: https://thcsbevandan.edu.vn
    Category : Phương pháp học tập

    Bình luận