1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3
Cho hàm số y = $ ax ^ { 3 } + bx ^ { 2 } + cx + d USD
Bước 1 :
-
Tìm tập xác định có D=R
Bạn đang đọc: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số: Lý Thuyết, Bài Tập
- Tính y ’ cho y ’ = 0 và suy ra các nghiệm nếu có
- Tính số lượng giới hạn $ lim_ { x rightarrow x + } f ( x ), lim_ { x rightarrow x – } f ( x ) USD
Bước 2 :
- Trường hợp 1 : Nếu y ’ = 0 có hai nghiệm thì y ’ sẽ có dấu là trong trái ngoài cùng .
- Trường hợp 2 : Nếu y ’ = 0 có nghiệm kép thì y ’ sẽ có có dấu là luôn cùng dấu với a trừ giá trị tại nghiệm kép .
- Trường hợp 3 : Nếu y ’ = 0 vô nghiệm thì y ’ sẽ có dấu là luôn cùng dấu với a .
Bước 3 : Kết luận
Đồ thị hàm số có 6 dạng như sau nếu chọn điểm đặc biệt quan trọng để vẽ đồ thị
Ví dụ 1 :
Cho hàm số y = $ x ^ { 3 } – 3 x + 1 USD, xét tính biến thiên của hàm số .
Bài giải :
- Tìm tập xác lập có D = R, y ‘ = $ 3 x ^ { 2 } – 3 $
- y ’ = 0 x = 1 hoặc x = – 1
USD lim_ { x rightarrow + infty } f ( x ) = + infty USD
USD lim_ { x rightarrow – infty } f ( x ) = – infty USD
Ta có bảng biến thiên sau :
Vậy : Hàm số sẽ đồng biến trên khoảng chừng ( USD – infty, – 1 USD ) và ( USD 1, + infty USD ) nghịch biến trên khoảng chừng ( – 1,1 ) .
Hàm số đạt cực lớn tại x = – 1 ; yCĐ = 3, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ; yCĐ = – 1
Đồ thị hàm số đi qua các điểm : ( 0 ; 1 ), ( 1 ; – 1 ), ( 2 ; 3 ), ( – 2 ; – 1 ), ( – 1 ; 3 ) .
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 4
Ta có đồ thị hàm số sau : y = $ ax ^ { 4 } + bx ^ { 2 } + c USD
Bước 1 :
- Tìm tập xác lập D = R
- Tính y ’ và y ’ = 0 ( có 3 có nghiệm hoặc có 1 nghiệm và có 1 nghiệm x = 0 ) .
- Tính số lượng giới hạn : $ lim_ { x rightarrow + infty } f ( x ), lim_ { x rightarrow – x } f ( x ) USD
Bước 2 : Lập bảng biến thiên có :
Ở bên phải bảng biến thiên, dấu của y ’ cùng dấu với a .
Bước 3 : Kết luận
- Tính chất đơn điệu .
- Cực trị hàm số .
- Giới hạn của hàm số .
- Vẽ đồ thị bằng cách vài điểm đặc biệt quan trọng .
Đồ thị sẽ có 4 dạng sau :
Ví dụ 2 : Cho đồ thị của hàm số y = $ frac { 1 } { 4 } x ^ { 4 } – frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } – frac { 3 } { 4 } $
Bài giải :
- Tìm tập xác lập : D = ℝ
- y ‘ = $ x ^ { 3 } – x USD
- y ‘ = 0 x = 0 hoặc x = – 1 hoặc x = 1
USD lim_ { x rightarrow + infty } f ( x ) = + infty, lim_ { x rightarrow x – } f ( x ) = + infty USD
Ta có bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên các khoảng chừng ( – 1 ; 0 ) và ( 1 ; + ∞ ), nghịch biến trên các khoảng chừng ( – ∞ ; – 1 ) và ( 0 ; 1 ) .
Hàm số đạt cực lớn tại x = 0 và yCĐ = $ frac { – 3 } { 4 } $, đạt cực tiểu tại x = ± 1 và yCT = – 1 .
Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( – 1, 1 ), ( 0, $ frac { – 3 } { 4 } USD ), ( 1, – 1 ), ( 2, $ frac { 5 } { 4 } USD ), ( – 2, $ frac { 5 } { 4 } $ ) .
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất
Ta có hàm số y = $ frac { ax + b } { cx + d } $
- Ta có tập xác lập D = R $ left { frac { – d } { c } right } $
- Tính y ‘ = $ frac { ad-bc } { ( cx + d ) ^ { 2 } } $ ( y ‘ hoặc dương hoặc âm ) $ forall x in D USD
- Đường tiệm cận
Tiệm cận đứng : USD x = frac { – d } { c } $ vì $ lim_ { x rightarrow frac { d + } { c } } = … USD và $ lim_ { x rightarrow frac { d – } { c } } = … USD
Tiệm cận ngang : y = $ frac { a } { c } $ vì $ lim_ { x rightarrow x + } y = frac { a } { c } $
Lập bảng biến thiên : Khi USD x rightarrow + infty USD thì y = $ frac { a } { c } $
Kết luận :
Hàm số luôn luôn nghịch biến trên từng khoảng chừng xác lập và đồng biến trên từng khoảng chừng xác lập .
Vẽ đồ thị : Đồ thị luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng và sẽ có 2 dạng .
Lấy thêm điểm đặc biệt quan trọng để vẽ đồ thị .
Đồ thị có 2 dạng sau :
Ví dụ 3 :
Cho hàm số y = $ frac { 2 x – 1 } { x + 1 } $, khảo sát sự biến thiên
Bài toán :
- Tìm tập xác lập D = R { – 1 }
USD y ‘ = frac { 3 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } }, forall x in D USD
USD lim_ { x rightarrow ( – 1 ) ^ { + } } y = 2 ; lim_ { x rightarrow ( – 1 ) ^ { – } } y = + infty => x = – 1 $ TCD
USD lim_ { x rightarrow pm x } y = 2 => y = 2 $ TCN
Ta có bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng chừng ( – ∞ ; – 1 ) và ( – 1 ; + ∞ ) và không có cực trị .
Đồ thị : Đồ thị hàm số qua các điểm ( 0 ; – 1 ), ( $ frac { 1 } { 2 } USD, 0 ), và nhận I ( – 1, 2 ) làm tâm đối xứng .
4. Các dạng bài tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Bài 1 :
Cho : đồ thị hàm số : y = $ – x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } – 4 USD
Xét sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị hàm số đó .
- Có Tập xác lập : D = R .
- Ta có : y ‘ = $ – 3 x ^ { 2 } + 6 x = – 3 x ( x-2 ) USD
Ta có y ’ = 0 ⇔ – 3 x ( x – 2 ) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 0
- Ta có bảng biến thiên :
Hàm số nghịch biến trên các khoảng chừng ( USD – infty ; 0 $ ) và ( USD 2 ; + infty USD ), đồng biến trên khoảng chừng ( 0 ; 2 ) .
Giá trị cực lớn của hàm số là y ( 2 ) = 0 khi hàm số đạt cực lớn tại điểm x = 2 ;
Giá trị cực tiểu của hàm số là y ( 0 ) = – 4 khi hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 ;
Ta có tại vô cực số lượng giới hạn của hàm số là $ lim_ { x rightarrow – 8 } = + infty ; lim_ { x rightarrow + infty } = – infty USD
Ta có đồ thị sau :
Cho x = 1 ⇒ y = 0
x = 3 ⇒ y = – 4
* Điểm uốn :
Ta có x = 1 do y ” = – 6 x + 6 = 0
⇒ y ( 1 ) = – 2 .
Từ đó suy ra điểm uốn của đồ thị là điểm I ( 1 ; – 2 )
Bài 2 :
Cho đồ thị hàm số y = $ x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } $, vẽ bảng biến thiên và khảo sát hàm số :
- Xét tập xác lập D = R
- Xét chiều biến thiên :
Xét : y ‘ = $ – 3 x ^ { 2 } + 6 x = – 3 x ( x-2 ) USD
Ta có phương trình y ‘ = – 3 x ( x-2 ) = 0 x = 0 hoặc x = 2
Tại vô cực giá trị của hàm số là $ lim_ { x rightarrow – infty } = + infty ; lim_ { x rightarrow + infty } = – infty USD
- Ta có bảng biến thiên :
Hàm số nghịch biến trên các khoảng chừng ( USD – infty ; 0 $ ) và ( USD 2 ; + infty USD ), đồng biến trên khoảng chừng ( 0 ; 2 ) .
Giá trị cực lớn của hàm số là y ( 2 ) = 4 khi hàm số đạt cực lớn tại điểm x = 2 ;
Giá trị cực tiểu của hàm số là y ( 0 ) = 0 khi hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0
- Ta có đồ thị :
Cho x = 1 ⇒ y ( 1 ) = 4
x = 3 ⇒ y = 0
- Ta có điểm uốn :
Với y ” = – 6 x + 6 = 0
Ta có x = 1 ⇒ y ( 1 ) = 4
Từ đó ta có I ( 1 ; 4 ) là điểm uốn .
Bài 3 :
Nhận xét sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = $ frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + 2 + 4 x USD
- Tìm tập xác lập : D = R
- Xác định chiều biến thiên
Tại vô cực hàm số có giá trị là :
USD lim_ { x rightarrow – infty } y = – infty ; lim_ { x rightarrow + infty } y = + infty USD
Ta có : y ‘ = $ x ^ { 2 } + 4 x + 4 = ( x + 2 ) ^ { 2 } geq 0, forall x in R USD
Trên tập R hàm số đồng biến và đồng thời không có cực trị
- Ta có bảng biến thiên :
* Đồ thị : Cho x = 0 ⇒ y ( 0 ) = 0
* Điểm uốn :
y ” = 2×4 = 0 ⇔ x = – 2
y ( – 2 ) = $ frac { – 8 } { 3 } $
Vậy điểm uốn của đồ thị là I ( – 2 ; $ frac { – 8 } { 3 } $ )
Bài 4
Ta có y = $ – x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 1 USD có đồ thị ( C ) .
a. Khảo sát sự biến thiên của đồ thị và vẽ đồ thị hàm số .
b. Xác định phương trình tiếp tuyến .
Bài giải :
a .
- Tìm tập xác lập : D = R
- Xác định chiều biến thiên :
Ta có : y ‘ = $ – 3 x ^ { 2 } + 6 x = – 3 x ( x-2 ) USD
Ta có x = 2 hoặc x = 0 vì y ’ = – 3 x ( x – 2 ) = 0
Tại vô cực ta có số lượng giới hạn của hàm số : $ lim_ { x rightarrow – infty } = + infty ; lim_ { x rightarrow + infty } = – infty USD
Ta có bảng biến thiên :
y ’ > 0 x $ in USD ( 0 ; 2 ) ; y ‘ $xin (-infty ;0)cup (2;+infty )$
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng chừng USD ( – infty ; 0 ) USD và USD ( 2 ; + infty ) USD, đồng biến trên khoảng chừng ( 0 ; 2 ) .
Hàm số đạt cực lớn tại điểm x = 2 ; giá trị cực lớn của hàm số là y ( 2 ) = 5
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y ( 0 ) = 1
- Ta có đồ thị :
Cho x = – 1 ⇔ y = 5 ;
x = 3 ⇔ y = 1 .
+ Điểm uốn :
y ” = – 6 x + 6 = 0
⇔ x = 1 ⇒ y = 3 .
Do đó, điểm uốn I ( 1 ; 3 ) .
b. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A ( 3 ; 1 ) .
Ta có ; y ’ ( 3 ) = – 9 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y = y ’ ( 3 ). ( x – 3 ) + 1 hay y = – 9 ( x – 3 ) + 1 ⇔ y = – 9 x + 28
Bài 5
Có : y = $ x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } – mx-4 USD, m là tham số
a. Nhận xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 .
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( USD – infty ; 0 USD ) .
Bài giải :
a. Khi m = 0 thì hàm số là y = $ x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } – 4 USD
- Ta có tập xác lập : D = R .
- Xét chiều biến thiên :
Tại điểm vô cực giá trị của hàm số là $ lim_ { x rightarrow – infty } = – infty ; lim_ { x rightarrow + infty } = + infty USD
Ta có : y ‘ = $ 3 x ^ { 2 } + 6 x = 3 x ( x + 2 ) USD
Với y ’ = 0 ⇔ 3 x ( x + 2 ) = 0 ⇔ x = – 2 hoặc x = – 0
-
Ta có bảng biến thiên:
Xem thêm: Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ – Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng
Hàm số đồng biến trên các khoảng chừng ( USD – infty ; – 2 $ ) và ( USD 0 ; + infty USD )
Giá trị cực lớn của hàm số là y ( – 2 ) = 0 khi hàm số đạt cực lớn tại điểm x = – 2 ;
Giá trị cực tiểu của hàm số là y ( 0 ) = – 4 khi Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 .
- Ta có đồ thị :
y = – 4 do x = – 3
X = 1 ⇒ y = 0
- Ta có : điểm uốn
y ” = 6 x + 6 = 0
⇔ x = – 1 ⇒ y ( – 1 ) = – 2 suy ra điểm uốn là I ( – 1 ; – 2 ) .
b. Hàm số y = $ x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } – mx-4 USD đồng biến trên khoảng chừng ( USD – infty ; 0 USD ) .
y’=$3x^{2}+6x-mgeq 0, forall xin( -infty ;0)$
Xét : g ( x ) = $ 3 x ^ { 2 } + 6 x – m, forall x in ( – infty ; 0 ) USD
– Ta có bảng biến thiên :
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy :
y ‘ = g ( x ) = $ 3 x ^ { 2 } + 6 x – m geq 0, forall x in ( – infty ; 0 ) USD
$-3-mgeq 0, forall xin( -infty ;0)$
$-3-mgeq 0 Leftrightarrow mleq -3$
Kết luận : với m ≤ – 3 thì thỏa mãn nhu cầu nhu yếu của đề bài .
Bài 6. Ta có ( C ) : y = $ 2 x ^ { 3 } – 9 x ^ { 2 } + 12 x – 4 USD
a. Nhận xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
b. Để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt : USD 2 left | x right | ^ { 3 } – 9 x ^ { 2 } + 12 left | x right | = m USD thì m bằng bao nhiêu ?
Bài giảng :
- Ta có tập xác lập D = R .
y ‘ = $ 6 x ^ { 2 } – 18 x + 12 = 0 Leftrightarrow $ x = 2 và x = 1
- Ta có bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên khoảng chừng USD ( – infty ; 1 ) USD và USD ( 2 ; + infty ) USD
Trên khoảng chừng ( 1 ; 2 ) hàm số nghịch biến .
Tại x = 1 và yCĐ = 1 hàm số cực lớn
Tại x = 2 và yCT = 0 hàm số cực tiểu
- Ta có dồ thị :
Điểm uốn :
y ‘ ‘ = 12 x – 18 = 0 x = $ frac { 3 } { 2 } $ => y = $ frac { 1 } { 2 } $
Do đó, điểm uốn I ( $ frac { 3 } { 2 } ; frac { 1 } { 2 } $ ) .
b. Ta có :
$2left | x right |^{3}-9x^{2}+12left | x right |=m$
$Leftrightarrow 2left | x right |^{3}-9x^{2}+12left | x right |=m$
$Leftrightarrow 2left | x right |^{3}-9x^{2}+12left | x right |-4=m-4$
Gọi ( C ) : y = $ 2 x ^ { 3 } – 9 x ^ { 2 } + 12 x – 4 $ và ( C ) : USD 2 left | x right | ^ { 3 } – 9 x ^ { 2 } + 12 left | x right | – 4 USD
Ta thấy khi x ≥ 0 thì : ( C ’ ) : y = $ 2 x ^ { 3 } – 9 x ^ { 2 } + 12 x – 4 USD
Lại có hàm số của đồ thị ( C ’ ) là hàm số chẵn nên ( C ’ ) vậy nên Oy là trục đối xứng .
Ta có đồ thị ( C ’ ) .
Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) bên phải trục Oy, ta được ( C ’ 1 ) .
Lấy đối xứng qua trục Oy phần ( C ’ 1 ) ta được ( C ’ 2 ) .
( C ’ ) = ( C ’ 1 ) $ cup USD ( C ‘ 2 )
Số nghiệm của phương trình :
$2left | x right |^{3}-9x^{2}+12left | x right |=m$
$Leftrightarrow 2left | right |^{3}-9x^{2}+12left | x right |-4=m-4$
là số giao điểm của đường thẳng ( d ) : y = m – 4 và đồ thị ( C ’ ) .
Vậy tử đồ thị ( C ’ ), suy ra :
⇔ 0
Tại vô cực hàm số có số lượng giới hạn $ lim_ { x rightarrow – infty } = – infty USD và $ lim_ { x rightarrow + infty } = + infty USD
Ta có bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên các khoảng chừng USD ( – infty ; 1 ) USD và $ left ( 3 ; + infty right ) USD, nghịch biến trên khoảng chừng ( – 1 ; 3 ) .
Tại điểm x = – 1 ; yCĐ = 0, hàm số đạt cực lớn .
Tại x = 3 ; yCT = – 4, hàm số đạt cực tiểu .
- Ta có đồ thị :
Ta có : y ’ ’ = $ frac { 1 } { 8 } $ ( 6 x – 6 ), f ‘ ‘ ( x ) = 0 x = 1. y ( 1 ) = – 2
Vậy nên I ( 1 ; – 2 ) là điểm uốn của đồ thị .
A USD ( 0 ; frac { – 5 } { 8 } ) USD là giao điểm của đồ thị với trục Oy .
Hai điểm B ( – 1 ; 0 ) ; C ( 5 ; 0 ) là giao điểm của đồ thị với trục Ox
Suy ra Điểm U ( 1 ; – 2 ), điểm uốn là tâm đối xứng .
b. Ta có :
y ‘ = $ frac { 3 } { 8 } ( x ^ { 2 } – 2 x – 3 ) = frac { 3 } { 8 } left [ ( x-1 ) ^ { 2 } – 4 right ] geq frac { 3 } { 2 } $
Chỉ xảy ra với x = 1 ⇒ y = – 2 .
Kết luận với góc nhỏ nhất tiếp tuyến là
y = $ frac { 3 } { 2 } ( x-1 ) – 2 = frac { 3 } { 2 } x – frac { 7 } { 2 } $
Bài 8. Cho hàm số y = $ – x ^ { 3 } – x + 2 USD, có đồ thị là ( C ) .
a. Khảo sát sự biến thiên ( C ) .
b. Cho phương trình $ left | x ^ { 3 } + x-2 right | = m USD ( 1 ). Hãy biện luận .
c. Khảo sát và vẽ ( C ) .
+ Tìm tập xác lập : D = R .
+ Xét sự biến thiên của hàm số đề bài .
Tại vô cực số lượng giới hạn của hàm số là : $ lim_ { x rightarrow – infty } = + infty, lim_ { x rightarrow + infty } = – infty USD
- Ta có bảng biến thiên :
Ta có y ‘ = $ – 3 x ^ { 2 } – 1 hàm số nghịch biến trên R .
- Hàm số không có cực trị .
Điểm uốn : Ta có : y ‘ ‘ = – 6 x => y ‘ ‘ = 0 x = 0
Vì y ” đổi dấu khi x đi qua điểm x = 0 nên U ( 0 ; 2 ) là điểm uốn của đồ thị .
Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ .
Đồ thị cắt Oy tại điểm ( 0 ; 2 ) .
Phương trình y = 0 ⇔ x = 1
Nên đồ thị cắt trục Ox tại điểm ( 1 ; 0 ) .
Nhận xét : Đồ thị nhận U ( 0 ; 1 ) làm tâm đối xứng .
b. Xét đồ thị ( C ’ ) : y = g ( x ) = $ left | x ^ { 3 } + x = 2 right | = left | f ( x ) right | USD. Khi đó số nghiệm của phương trình ( 1 ) chính là số giao điểm của đồ thị ( C ’ ) và đường thẳng Δ : y = m .
Cách vẽ y = g ( x )
B1 : Giữ nguyên đồ thị ( C ) ứng với phần f ( x ) $ geq USD 0 ( Phần đồ thị nằm trên Ox .
B2 : Lấy đối xứng qua trục Ox đồ thị ( 3 ) phần f ( x ) 0 ⇒ Δ cắt ( C ’ ) tại hai điểm thì ( 1 ) có hai nghiệm .
Bài 9. Cho hàm số y = $ x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 2 USD có đồ thị là ( C )
a. Nhận xét sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) .
b. Tìm m để phương trình USD x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } = m USD ( 1 ) có ba nghiệm phân biệt .
c. Từ đồ thị ( C ) hãy suy ra đồ thị ( C ’ ) : y = g ( x ) = $ left | x right | ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 2 USD
d. Biện luận số nghiệm của phương trình : USD – left | x right | ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + m = 0 USD ( 2 )
Bài giảng :
a. Khảo sát và vẽ ( C ) .
- Tìm tập xác lập : D = R .
- Sự biến thiên của hàm số .
Tại vô cực số lượng giới hạn của hàm số là : $ lim_ { x rightarrow + infty } = + infty ; lim_ { x rightarrow – infty } = – infty USD
Bảng biến thiên :
Ta có : y ‘ = $ 3 x ^ { 2 } – 6 x = 0 $ ⇔ x = 0 hoặc x = 2 .
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng chừng USD ( – infty ; 0 ) USD và USD ( 2 ; + infty ) USD, nghịch biến trên khoảng chừng ( 0 ; 2 ) .
Tại điểm x = 0 ; yCĐ = 2 hàm số đạt cực lớn .
Tại điểm x = 2 ; yCT = – 2, hàm số đạt cực tiểu .
- Ta có đồ thị :
y ’ ’ = 6 x – 6 y ‘ ‘ = 0 x = 1
Đạo hàm cấp hai của hàm số là điểm uốn .
Qua X1 Ta thấy y ” đổi dấu khi x .
Vậy điểm uốn của đồ thị là U ( 1 ; 0 ) .
( 0 ; 2 ) là giao điểm của đồ thị và trục Oy .
Do đó, đồ thị cắt Ox tại ba điểm ( 1 ; 0 ), ( USD 1 pm sqrt { 3 } ; 0 USD ) .
Chọn x = 3 ⇒ y = 2 ; x = – 1 ⇒ y = – 2 .
Từ đó có U ( 1 ; 0 ) là tâm đối xứng .
b. Ta có phương trình :
USD x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } = m Leftrightarrow x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 2 = m + 2 USD
Ba nghiệm phân biệt đường thẳng y = m + 2 cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt khi – 2 g ( x ) = $ x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 2 USD
=> ( C ) $ equiv USD ( C ‘ )
Cách vẽ đồ thị ( C ) :
Giữ nguyên phần bên phải trục Oy của đồ thị ( C ) .
Tìm điểm đối xứng qua trục Oy .
d. Ta có phương trình ( 2 ) : $ left | x right | ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 2 = m-2 USD
USD left { begin { matrix } y = left | x right | ^ { 3 } – 3 x + 2 y = m-2 ( Delta ) end { matrix } right. ( C ‘ ) USD
Giao điểm của đồ thị là nghiệm phương trình .
Ta suy ra :
m – 2 m Δ không cắt đồ thị ( C ’ ) nên phương trình ( 2 ) vô nghiệm .
cắt ( C ’ ) tại hai điểm phân biệt nên phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt .
m – 2 = 2 m = 4 cắt ( C ’ ) tại ba điểm phân biệt nên phương trình ( 2 ) có ba nghiệm phân biệt .
-2 0
Bài 10. Cho hàm số y = $ 2 x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 1 USD có đồ thị là ( C ) .
a. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 36 x + 1 .
b. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : $ left | x right | ^ { 3 } – frac { 3 } { 2 } x ^ { 2 } + m = 0 USD
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : $ left | 2 x ^ { 2 } – x-1 right | = frac { m } { left | x-1 right | } $
a. Gọi M ( USD x_ { 0 } ; y_ { 0 } $ ) là tiếp điểm .
Ta có :
USD y ‘ ( X_ { 0 } ) = 36 Leftrightarrow X_ { 0 } ^ { 2 } – X_ { 0 } – 6 = 0 USD
USD Leftrightarrow X_ { 0 } = 3, X_ { 0 } = – 2 USD
USD x_ { 0 } = – 2 $ thì USD y_ { 0 } = – 27 USD nên phương trình tiếp tuyến y = 36 x + 45
USD x_ { 0 } = 3 $ thì USD y_ { 0 } = 28 USD nên phương trình tiếp tuyến y = 36 x + 80 .
b. Phương trình USD 2 left | x right | ^ { 2 } – 3 x ^ { 2 } + 1 = – 2 m + 1 USD, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị :
Dựa vào đồ thị (C’) ta có 0 0
c. Điều kiện :
Phương trình $ left | 2 x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 1 right | = m Leftrightarrow left | 2 x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 1 right | = m USD, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị $ left | 2 x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 1 right | = m Leftrightarrow left | 2 x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 1 right | = m USD
Dựa vào đồ thị ( C1 ) suy ra :
m 0
Xem thêm: Cách tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian Oxyz – bài tập áp dụng
m = 1 thì phương trình có đúng ba nghiệm .
m > 1 thì phương trình có đúng hai nghiệm .
Trên đây là hàng loạt triết lý và cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số thường gặp. Tuy nhiên nếu em muốn đạt tác dụng tốt thì hãy làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Em hoàn toàn có thể truy vấn Vuihoc. vn và ĐK thông tin tài khoản để luyện đề ! Chúc các em đạt hiệu quả cao trong kỳ thi trung học phổ thông Quốc Gia sắp tới.