Định lí Pytago và cách ứng dụng định lí Pytago vào giải toán – Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng

Định lí Pytago và cách ứng dụng định lí Pytago vào giải toán

Định lý Pytago ( hay còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng Anh ) là một trong những định lí Hình học cơ bản, tối quan trọng mà bất kể học viên nào cũng cần nắm vững. Bài viết ngày hôm nay, Zxabooks. com sẽ tổng hợp lại tổng thể những kỹ năng và kiến thức cần ghi nhớ về chuyên đề này cũng như cách ứng dụng định lí Pytago vào giải toán cực hay. Bạn tìm hiểu và khám phá nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ ĐỊNH LÍ PYTAGO 

1. Định lí Pytago là gì ?

Bạn đang xem : Định lí Pytago và cách ứng dụng định lí Pytago vào giải toán
Định lý Pytago ( còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng Anh ) là một liên hệ cơ bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông .

Định lý pitago thuận phát biểu rằng: “bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Định lý hoàn toàn có thể viết thành một phương trình liên hệ độ dài của những cạnh là a, b và c, thường gọi là “ công thức Pytago ”
C2 = A2 + B2
trong đó C độ dài là cạnh huyền, A, B là độ dài 2 cạnh góc vuông .

Như vậy trong bất kể 1 tam giác vuông nào thì bình phương cạnh huyền cũng sẽ bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông .
Theo định lý cho biết, cạnh góc vuông của tam giác kí hiệu là a và b, còn cạnh huyền kí hiệu là c của tam giác vuông đó. Ta luôn có phương trình của định lý Pitago như sau :
A2 + B2 = C2
( với c là độ dài cạnh huyền và a và b là độ dài hai cạnh góc vuông hay còn gọi là cạnh kề. )

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 6cm, AC= 8cm. Tính BC

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có :
BC2 = AB2 + AC2BC2 = AB2 + AC2
Nên BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
Vậy BC = 10 cm

Chú ý: Dựa vào định lí Pytago, khi ta biết độ dài 2 cạnh của tam giác vuông, ta sẽ tính được độ dài cạnh còn lại

2. Định lí Pytago đảo.

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng những bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông .
ΔABC ∆ ABC có BC2 = AB2 + AC2BC2 = AB2 + AC2
⇒ ˆBAC = 90 o ⇒ BAC ^ = 90 o

Sử dụng định lý Py-ta-go đảo để nhận biết tam giác vuông

Phương pháp:

+ Tính bình phương những độ dài ba cạnh của tam giác
+ So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng những bình phương của hai cạnh kia
+ Nếu hai hiệu quả bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền .

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AC= 5 cm, BC= 3 cm, AB= 4 cm. Tam giác ABC là tam giác gì?

Ta có : AC2 = BC2 + AB2AC2 = BC2 + AB2 ( vì 52 = 32 + 4252 = 32 + 42 )
Nên tam giác ABC vuông tại B ( Định lí Pytago đảo )

Chú ý: Cạnh huyền là cạnh lớn nhất trong tam giác vuôn

II. CÁCH CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ PYTAGO

1. Chứng minh định lí Pytago thuận

Ta hoàn toàn có thể chứng minh định lý Pytago đơn thuần qua hình dưới đây :

Ở hình trên ta có 2 hình vuông vắn lớn có diện tích quy hoạnh bằng nhau là : ( a + b ) 2
Trong mỗi hình lại có 4 tam giác vuông bằng nhau có diện băng nhau là 50% ( a. b ). Do đó diện tích quy hoạnh khoảng chừng trắng của 2 hình sẽ bằng nhau .
Như vậy, diện tích quy hoạnh của hình vuông vắn c sẽ bằng tổng diện tích quy hoạnh của 2 hình vuông vắn a và b nên ta có : C2 = A2 + B2

2. Chứng minh định lí Pytago đảo

Gọi ABC là tam giác với những cạnh a, b, và c, với ( a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ). Dựng một tam giác thứ hai có những cạnh bằng a và b và góc vuông tạo bởi giữa chúng. Theo định lý Pytago thuận, cạnh huyền của tam giác vuông thứ hai này sẽ bằng c = √ ( a² + b² ) và bằng với cạnh còn lại của tam giác thứ nhất .
Bởi vì cả hai tam giác có ba cạnh tương ứng cùng bằng chiều dài a, b và c, do vậy hai tam giác này phải bằng nhau. Do đó góc giữa những cạnh a và b ở tam giác tiên phong phải là góc vuông .

Chứng minh định lý pytago đảo ở trên sử dụng chính định lý Pytago. Cũng có thể chứng minh định lý đảo mà không cần sử dụng tới định lý thuận.

Một hệ quả của định lý Pytago đảo đó là cách xác định đơn giản một tam giác có là tam giác vuông hay không, hay nó là tam giác nhọn hoặc tam giác tù. Gọi c là cạnh dài nhất của tam giác và có a + b > c (nếu không sẽ không tồn tại tam giác vì đây chính là bất đẳng thức tam giác). Các phát biểu sau đây là đúng:

• Nếu A2+B2 = C2 thì tam giác là tam giác vuông.
• Nếu A2+B2  > C2 nó là tam giác nhọn.
• Nếu A2+B2
  

III. CÁCH ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ PITAGO VÀO GIẢI BÀI TẬP

1. Cách tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng X-Y

Khi đã biết 2 tọa độ ( x, y ) là ( 6, 1 ), ( 3, 5 ), ta sẽ tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng X-Y theo những bước sau :

Bước 1: Xác định 2 điểm trong mặt phẳng X-Y

Dựa vào định lý Pitago, ta thuận tiện tính được khoảng cách đường thẳng giữa 2 điểm trong mặt phẳng X-Y. Lúc này, ta chỉ cần biết tọa độ x và y của 2 điểm bất kể. Bình thường tọa độ x, y sẽ được viết theo cặp thứ tự là tọa độ ( x, y )
Muốn tìm khoảng cách giữa 2 điểm này, ta coi mỗi điểm là một trong những góc nhọn của tam giác vuông để triển khai tính số đo chiều dài cạnh a, cạnh b sau đó tính tiếp độ dài cạnh c là khoảng cách giữa 2 điểm .

Bước 2: Vẽ 2 điểm trên đồ thị

Tọa độ ( x, y ) trên mặt phẳng X-Y, trong đó x là tọa độ trên trục hoành, y là tọa độ trên trục tung. Từ đó, bạn hoàn toàn có thể tìm khoảng cách giữa 2 điểm mà không cần vẽ đồ thị. Vẽ đồ thị ra, hình vẽ sẽ giúp ta nhìn trực quan và rõ ràng hơn rất nhiều .

Bước 3: Tìm độ dài các cạnh góc vuông của tam giác

Dùng 2 điểm đã cho như những góc của tam giác ngay cạnh huyền, tìm độ dài cạnh góc vuông a và b. Bạn hoàn toàn có thể tính qua hình trên đồ thị hoặc dùng công thức tính | x1 – x2 | = | 3 – 6 | = | – 3 | = 3
Chiều dài cạnh thẳng đứng tính như sau : | y1 – y2 | = | 1 – 5 | = | – 4 | = 4
Như vậy, hai cạnh còn lại của tam giác vuông này là a = 3, b = 4 .

Bước 4: Dùng định lý pitago giải phương trình tìm cạnh huyền

Ở ví dụ ở trên, ta biết cạnh huyền là khoảng cách giữa 2 điểm của hình tam giác và tìm được 2 cạnh góc vuông còn lại ở trên. Bây giờ, tất cả chúng ta tìm cạnh huyền khi biết độ dài 2 cạnh góc vuông mà ta đặt là cạnh a và cạnh b .
Ở ví dụ trên, những điểm tọa độ ( x, y ) được cho là ( 3,5 ) và ( 6,1 ) và cho biết chiều dài 2 cạnh góc vuông là 3 và 4 để tính chiều dài cạnh huyền còn lại. Ta triển khai cách tính chiều dài cạnh huyền bằng cách thay cạnh có chiều dài đã biết vào phương trình ta được : ( 3 ) ² + ( 4 ) ² = c² => c = 9 + 16 = 25 => c = 5. Như vậy, hiệu quả sau cuối của phép tính độ dài là 5 về khoảng cách giữa hai điểm tạo độ ( 3,5 ) và ( 6,1 )

2. Cách tìm các cạnh của tam giác vuông

Dựa theo định lý Pitago, ta sẽ cùng đi tìm những cạnh của tam giác vuông theo những bước sau :

Bước 1: Điều kiện tam giác đang xét phải là tam giác vuông

Định lý Pitago chỉ vận dụng được cho trường hợp tam giác vuông. Vì vậy, để tìm được những cạnh của tam giác vuông, hình tam giác đó phải có điều kiện kèm theo là tam giác vuông với một góc bằng 90 độ. Bạn hoàn toàn có thể tìm thấy tín hiệu hình tam giác vuông trên hình vẽ rất thuận tiện .

Bước 2: Chỉ ra được các cạnh của hình tam giác vuông

Nhìn vào hình, bạn hãy chỉ ra 2 cạnh góc vuông và cạnh huyền. Cạnh luôn đối lập với góc vuông, là cạnh dài nhất sẽ là cạnh huyền. Hai cạnh ngắn hơn sẽ mặc định là 2 cạnh góc vuông. Ví dụ nếu tam giác ABC có cạnh góc vuông là ABC thì cạnh góc vuông là cạnh AB và BC còn cạnh huyền là AC. Theo định lý Pitago, a, b là kí hiệu của 2 cạnh góc vuông, c là kí hiệu của cạnh huyền .

Bước 3: Xác định cạnh huyền cần tìm của tam giác vuông đó

Với định lý Pitago, ta hoàn toàn có thể tìm được độ dài bất kể của cạnh của một tam giác vuông nào bằng công thức trên chỉ cần biết chiều dài 2 cạnh còn lại :
a2 + b2 = c2
Có nghĩa là bạn sẽ xác lập cạnh chưa biết là a, b hay c. Nếu đã biết độ dài của 2 cạnh và 1 cạnh chưa biết của hình tam giác, bạn hoàn toàn có thể mở màn .

Bước 4: Thay giá trị độ dài 2 cạnh vào phương trình

a2 + b2 = c2
Trong đó, a, b là hai cạnh góc vuông, c là cạnh huyền. Nếu a = 3, c = 5 ta có
32 + b2 = 52

Bước 5: Tính bình phương

Giải phương trình, bạn tính bình phương mỗi cạnh đã biết. Nếu đơn thuần, bạn để ở dạng số mũ rồi tính sau. Trong ví dụ này, bình phương lên ta được
9 + b2 = 25

Bước 6: Tách biến chưa biết sang một vế của phương trình

Nếu tính từng bước cụ thể, bạn sử dụng phép toán tính số hạng của tổng để chuyển hai số đã biết sang một bên của phương trình và số chưa biết ở một bên phương trình. Lúc này, cạnh huyền c đã ở một vế riêng để bạn tính hiệu số. =>
b2 = 16

Bước 7: Giảm bình phương của cả hai vế phương trình

Kết quả
b2 = 16
cho thấy một vế của phương trình còn một biến bình phương còn vế kia là một số ít xác lập. Giảm bình phương của cả 2 vế ta sẽ được b = 4. Như vậy tác dụng của bài toán là 4, chiều dài số đo của cạnh cần tìm .

Bước 8: Sử dụng định lý Pitago để tìm cạnh của tam giác vuông trong thực tế

Định lý Pitago được sử dụng rất nhiều trong trong thực tiễn. Vì vậy, bạn chỉ cần phân biệt tam giác vuông trong thực tiễn trong bất kể trường hợp nào. Áp dụng vào thực tiễn đời sống, chỉ cần 2 đường thẳng giao nhau hoặc 2 vật giao nhau tạo ra một góc vuông đồng thời có một đường thẳng hay vật thứ 3 cắt chéo qua góc vuông đã tạo ra một hình tam giác vuông. Từ đó, bạn hoàn toàn có thể sử dụng định lý pitago tìm độ dài cạnh nào đó khi biết số đo 2 cạnh còn lại .

Bài viết trên đây, chúng tôi đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn Định lí Pytago và cách ứng dụng định lí Pytago vào giải toán cực hay. Hi vọng, những chia sẻ trên đây hữu ích với bạn. Xem thêm định lí Ceva nữa bạn nhé !

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận !
Nguồn san sẻ : Trường trung học phổ thông TP Sóc Trăng ( thptsoctrang.edu.vn )

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập