Công thức tính thể tích tứ diện biết độ dài các cạnh

Cách tính, công thức tính thể tích khối tứ diện – Toán lớp 12

Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ công thức và phương pháp tính thể tích khối tứ diện. Cùng với các ví dụ bài toán có lời giải.

+ Tứ diện $ ABCD $ có bốn mặt là tam giác .+ Tứ diện đều khi có 6 cạnh bằng nhau, 4 mặt là tam giác đều .

+Thể tích tứ diện $ABCD$: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng: $V=frac{1}{3} S_{B C D} cdot A H$

+Thể tích khối chóp tam giác $S.ABC$: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó: $V=frac{1}{3} B. h$

Chú ý:

1 ) Tứ diện hay hình chóp tam giác cócách chọn đỉnh chóp .2 ) Tứ diện nội tiếp hình hộp, tứ diện gần đều ( cócặp cạnh đối bằng nhau ) nội tiếp hình hộp chữ nhật và tứ diện đều nội tiếp hình lập phương .3 ) Khi giám sát những đại lượng, nếu cần thì đặt ẩn rồi tìm phương trình để giải ra ẩn đó .4 ) Để tính diện tích quy hoạnh, thể tích có khi ta tính gián tiếp bằng cách chia nhỏ những phần hoặc lấy hầu hết hơn trừ đi những phần dư .

2. Bài tập thể tích khối tứ diện

• 12 Đề ôn tập Số phức có đáp án ôn tập THPT quốc gia

• Giải tích phân lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ

• Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12

• Đề cương ôn tập Toán 12 học kỳ I năm 2013-2014

• Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm Toán 12 – Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh

• Tóm tắt lý thuyết và giải nhanh Toán 12

• Tóm tắt một số công thức giải nhanh Toán 12

1. Hình tứ diện đều là gì?

Hình tứ diện đều là một trong những khái niệm khá dễ hiểu. Cụ thể, trong khoảng trống cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Khối đa diện có 4 đỉnh A, B, C, D gọi là khối tứ diện. Nếu những khối tự diện này có những mặt là tam giác đều thì được gọi là khối tứ diện đều .
Nói một cách dễ hiểu nhất thì tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều. Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều và ngược lại, nếu hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện kèm theo cạnh bên bằng cạnh đáy thì sẽ tạo ra tứ diện đều .

2. Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng, cạnh, trục, tâm đối xứng?

Tứ diện đều có 4 mặt và 6 cạnh. Cụ thể là :
+ 4 mặt tứ diện là ( ABC ) ; ( ACD ) ; ( ABD ) ; ( BDC ) .
+ 6 cạnh của tứ diện là AB ; AC ; AD ; BD ; BC ; CD .
+ Trong đó những cạnh bên đều sẽ bằng nhau : AB = AC = AD = BD = BC = CD .
+ Góc ở mỗi mặt tứ diện là 60 độ .
Hình tứ diện đều có 6 mặt đối xứng. Mỗi mặt đều chứa 1 cạnh và trung điểm cạnh đối lập ( hình vẽ ) .
6 mặt đối xứng của hình tứ diện đềuTứ diện đều có những cặp cạnh đối vuông góc, đoạn nối trung điểm 2 cạnh đối là đoạn vuông góc chung của 2 cạnh đối đó. Và khoảng cách giữa hai cạnh đối lập của tứ diện đều bằng độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối lập ấy .

3. Cách vẽ hình tứ diện đều chuẩn xác

Việc vẽ hình là một bước rất quan trọng, hình vẽ đúng mực thì bạn mới hoàn toàn có thể giải được bài toán một cách thuận tiện nhất. Do đó khi giải toán tương quan đến hình tứ diện thì bạn cần quan tâm về cách vẽ hình. Cụ thể cách vẽ tứ diện đều ABCD ta thực thi theo những bước sau :
Cách vẽ hình tứ diện đều chính xác- Coi hình tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều. Chẳng hạn A.BCD.
– Đầu tiên bạn vẽ mặt là dưới mặt đáy. Chẳng hạn là mặt BCD .
– Sau đó vẽ một đường trung tuyến của dưới mặt đáy BCD. Chẳng hạn BM là trung tuyến của tam giác BCD .
– Xác định trọng tâm G của tam giác BCD và G chính là tâm của đáy .
– Dựng đường cao ( đường thẳng đi qua G song song với mép bên vở hoặc tờ giấy của những bạn ) .
– Xác định điểm A trên đường vừa dựng và hoàn thành xong hình .

Lưu ý: Tứ diện đều cạnh a là tứ diện có tất cả các cạnh bằng a.

4. Cách tính thể tích hình tứ diện đều

Giả sử ABCD là khối tứ diện đều cạnh a. G là trọng tâm tam giác BCD ( hình trên ) .

Chứng minh: Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều

Tứ diện ABCD đều cạnh a
Ta có :

5. Bài tập tính thể tích khối tứ diện đều

Bài 1: Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng AA’B’D’ là khối tứ diện đều cạnh a

Cách giải:

Ta có : AA’B ’ D ’ là tứ diện đều, suy ra đường cao AH có H là tâm của tam giác đều A’B ’ D ’ cạnh a .
Do đó :

Bài 2: Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng √2

Cách giải:

Thuê gia sư

1. Lý thuyết về các dạng bài toán tính thể tích khối tứ diện

Như tất cả chúng ta đã được học về kỹ năng và kiến thức lớp dưới, thể tích chính là lượng khoảng trống của một vật đang chiếm. Chúng ta sử dụng m3 là đon vị tính thể tích. Thế tích của khối tứ diện sẽ được hiểu dựa vào nghiên cứu và phân tích sau : – Cho tứ diện ABCD, trong đó bốn mặt của tứ diện chính là những tam giác, tứ diện này sẽ đều khi có 6 cạnh có độ dài bằng nhau và 4 mặt đều là những tam giác đều.

Cho tứ diện ABCD, lúc này Thể tích tứ diện sẽ bằng tích số của Diện tích (kí hiệu S) của mặt đáy nhân (kí hiệu bằng dấu “.”) với chiều cao của khối tứ diện đó.

=> Công thức tính sẽ được viết như sau : V = 1/3. SBCD.AH Trong đó : – V là thể tích của khối tứ diện. – S là diện tích quy hoạnh của dưới mặt đáy. – BCD là dưới mặt đáy được quy ước. Trong những trường hợp khác dưới mặt đáy hoàn toàn có thể có tên khác. – AH là chiều cao từ đỉnh chop của khối tứ diện đó xuống đáy ( được đo vuông góc với dưới mặt đáy ).

Tham khảo: Tìm gia sư toán lớp 12

2. Các công thức tính thể tích khối tứ diện đặc biệt

Sau đây, timviec365.com.vn sẽ san sẻ với những bạn một số ít công thức tính thể tích khối tứ diện đặc biệt quan trọng, nắm được nhiều cách tính, nhiều công thức tính sẽ giúp những bạn thuận tiện vận dụng trong từng trường hợp đơn cử. Ngoài công thức tính được nêu trên thì tất cả chúng ta còn có thêm công thức khác đó là : – Cho bài toán : Tứ diện ABCD, trong đó cạnh BC dài a ( cm ), cạnh CA dài b ( cm ), cạnh AD dài d ( cm ), cạnh CD dài f ( cm ), cạnh BD dài e ( cm ). Lúc này, tất cả chúng ta sẽ có công thức tính thể tích khối thứ diện ABCD như sau :

V = 1/12 căn bậc hai của (M + N + P + Q)

Trong đó : – M = a2. d2. ( b2 + e2 + c2 + f2 – a2 – d2 ). – N = b2. e2. ( a2 + d2 + c2 – b2 – e2 ) – P = c2. f2. ( a2 + d2 + b2 + e2 – c2 – f2 ). – Q = ( abc ) 2 + ( aef ) 2 + ( bdf ) 2 + ( ede ) 2.

2.2. Công thức tính các khối thứ diện đặc biệt khác

2.2.1. Công thức tính thể tích tứ diện đều

Cho tứ diện đều có cạnh là a ( cm ), tất cả chúng ta sẽ có công thức tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh là a như sau : V = 1/2 ( an pha bình phương nhân căn bậc 2 của 2 )

2.2.2. Công thức tính thể tích tứ diện vuông

Tứ diện vuông có những góc nằm tại cùng một đỉnh của tứ diện là góc vuông, trong đó giả sử đặt tên tứ diện vuông là ABCD với AB, AC, AD cứ đôi một lại vuông góc với nhau, độ dài của 3 cạnh đó lần lượt là a, b, c. Khi đó ta có công thức tính thể tích tứ diện vuông ABCD như sau :

V = 1/6.abc

Tứ diện gần đều chính là tứ diện có những cặp cạnh đối có độ dài tương ứng bằng nhau. Giả sử cho tứ diện ABCD, những cạnh AB = CD = a ( cm ), những cạnh BC = AD = b ( cm ), những cạnh AC = BD = c ( cm ).

2.2.4. Công thức tính thể tích của tứ diện khi biết diện tích quy hoạnh 2 mặt kề nhau

Với dạng này thì có phần phức tạp hơn, do đó những bạn cần phải nắm chắc kiến thức và kỹ năng của những yếu tố trong công thức. Giả sử có tứ diện ABCD trong đó Diện tích của mặt 1 là diện tích quy hoạnh CAB ( S1 ), diện tích quy hoạnh mặt 2 là diện tích quy hoạnh DAB ( S2 ), an pha = ( ( CAB ), ( DAB ) ), AB = an pha. Khi đó ta có công thức để tính thể tích của khối tứ diện dạng này như sau :

V = 2/3.S1.S2.(Sin an pha/an pha)

Trên đây là một số ít những công thức tính thể tính tứ diện thường gặp mà những bạn cần phải chớp lấy được. Chúng ta sẽ cùng khám phá một vài ví dụ về những bài tập của dạng bài toán tính thể tích của khối tứ diện đơn cử ở phần tiếp theo.

Xem thêm: Các cách chứng minh hình bình hành

3. Một số ví dụ về bài tập tính thể tích tứ diện

Có vô số những bài tập tính thể tích khối tứ diện, tất cả chúng ta sẽ lấy ví dụ về 1 số ít bài tập để hiểu cách giải và vận dụng cho nhiều trường hợp khác nhé.

Bài số 1:

Cho tứ diện ABCD, trong đó AB = 2 cm, AC = 3 cm, cạnh AD – cạnh BC và bằng 4 cm, cạnh BD = căn bậc 2 của 5 cm, cạnh BD = 5 cm. Bạn hãy tính thể tích của tứ diện ABCD. Cách giải bài toán như sau :

Như vậy, trên đây chính là những thông tin quan trọng giúp các bạn nắm rõ được các công thức tính thể tích tứ diện thường gặp trong các dạng bài tập, bất cứ bạn học sinh nào chuẩn bị học, đang học hoặc đã học qua rồi đều cần nắm được. Cùng với những chia sẻ trong bài viết, hy vọng các bạn sẽ luôn làm tốt bài tập về tính thể tích khối tứ diện.