CHUYÊN đề CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC và các bài TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CHỌN lọc lớp 9

Ngày đăng : 12/06/2017, 09 : 00

tài liệu CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CHỌN LỌC LỚP 9 (CÓ HƯỚNG DẪN CHI TIẾT) giành cho học sinh lớp 9 ôn tập chuẩn bị kiến thức thi vào lớp 10, tài liệu bao gồm 2 phần hỗ trọ học sinh tư duy về các bài toán chứa biểu thức CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP (Cể HNG DN CHI TIT) Bài tập Cho a + b + c = 0, a, b, c # Chứng minh đẳngthức: HD VT = 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 1 1 1 1 1 + + = + + + + + + + 2 a b c a b c ab bc ca ab bc ca 2 a b 1 1 1 c 1 a+b+c 1 = + + + + = + + = + + = + + = VP a b c a b c abc abc bca a b c abc a b c Bài tập 2: Chứng minh số: + + số vô tỉ HD.Giả sử: + + = a (a hữu tỉ ).Thế + = a Bình phơng hai vế ta đợc: a2, + = a + 2a + a = a4 5a a tiếp tục BPHV ta có: (hiển nhiên a # ), + 5a + 2a 30 = 30 = 2a 30 số hữu tỉ,vô lí Vậy + + số vô tỉ Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức: A = + 1 + với a # 0; a ( a + 1) 1 1 1 1 + + + + + + + ++ + + 2 3 99 100 a (a + 1) + (a + 1) + a a (a + 1) + a + 2a + + a 1 = = = HD a) A = + + a (a + 1) a (a + 1) a (a + 1) b)Tính giá trị tổng: B = + = a (a + 1) + 2a + 2a + a (a + 1) + 2a (a + 1) + a (a + 1) + 2a (a + 1) + [ a (a + 1) + 1] = = = a (a + 1) a (a + 1) a (a + 1) a (a + 1) 2 a2 + a + a + a + = ; Với a > nên A > A = a (a + 1) a(a + 1) 1 a + a + a (a + 1) + 1 1 = = =1+ =1+ b) Từ câu a suy ra: A = + + a(a + 1) a (a + 1) a (a + 1) a a +1 a ( a + 1) 1 1 1 1 Do đó: B = + + + + + + + + = 99 100 1 1 1 1 = 99 + + + + = 99,99 = 100 100 2 3 99 100 Bài tập Rút gọn biểu thức: 1 1 + + + + a) A= 1+ 2+ 3+ n + n CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP b) B= 1 + + + +2 +3 100 99 + 99 100 1 + + c) C= 2 3 99 100 1 2 HD.a) Ta hoán đổi vị trí hai số hạng mẫu trục thức: = = = làm tơng 1+ 2 +1 tự ta đợc: n n A= + + + + = + + + + n n 1 1 = + + + + n n = n 1 1 + + + + b) B = = 2+ +2 3+3 100 99 + 99 100 1 1 = + + + + ( + 1) 2( + 2) 100 99( 100 + 99 ) 3( + 3) 1 1 = + + + + ( + 1) 2( + 2) 100 99( 100 + 99 ) 3( + 3) = = ( 1) 1(2 1) ( 1) + + 2+ 1 + ( 2) (3 2) ( 2) ( 3) + ( 3) ( 3) + + + ( 100 99 ) + + 100 99(100 99) ( 100 99 ) 100 99 1 1 1 1 + + + + =1 = 10 10 2 3 99 100 c)Trục thức rút gọn Bài tập Cho số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị biểu thức: 1+ z2 1+ x2 1+ y2 1+ z2 1+ x2 1+ y2 y + A= x + z 1+ y2 1+ x2 1+ z2 HD Thay xy + yz + zx = vào + y2 ta đợc: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z ); Tơng tự thay xy + yz + zx = vào + x2 ta đợc xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y ); xy + yz + zx = vào + z2 ta đợc xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x ); Thay tất vào biểu thức A rút gọn ta đợc kết quả: A = xy + yz + xz ( )( ( ) )( ) ( )( ) Bài tập 6: Cho số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị biểu thức: zx yz xy + B= + + z2 + x2 + y2 + z2 + x2 + y2 y x z + y2 + x2 3+ z2 HD Thay xy + yz + zx = vào + y2 ta đợc: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z ); Tơng tự thay xy + yz + zx = vào + x2 ta đợc xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y ); xy + yz + zx = vào + z2 ta đợc xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x ); Thay tất vào biểu thức B rút gọn ta đợc kết quả: B = ( )( ) ( )( ) ( )( ) CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP 1 + + =0 a b c a + b = a + c + b + c ( a + b ) = ( a + c + b + c )2 a + b = a + c + b + c + a + c b + c Bài tập Cho ba số thực a, b, c # HD a + b = a + c + b + c Chứng minh rằng: 2c = a + c b + c (c) = ( a + c b + c ) c = (a + c).(b + c) ab + ac + bc + c = c 1 ab + ac + bc + c = c ab + ac + bc =, chia hai vế cho abc ta đợc: + + = a b c Bài tập Cho x + y + z = xy + yz + xz x, y, z số dơng Chứng minh rằng: x = y = z HD Nhân hai vế đẳng thức với ta đợc: x + y + z = xy + yz + xz 2( x + y + z ) = 2( xy + yz + xz ) ( x y) + ( y z) + ( z x) = x = y = z 2 Bài tập Chứng minh rằng: a a ; = an n a a b)Nếu a 0, b a + b = a + b ab = ; c) a + b = a + b ab( a + b ) = a)Nếu a > 1, với n N ta có: n a+ n a a.a n a a n a.a n a n, với a > 1, với n N = = = an n n n n a a a a b)Với a 0, b bình phơng hai vế ta đợc: a + b = a + b + ab ab = ab = HD.a) VT = n a + c) Lập phơng hai vế ta đợc: a + b = a + b + a b + ab ab ( a + b ) = ab( a + b ) = Bài tập 10: Chứng minh a + b + c = a + b + c với n tự nhiên lẻ ta có: n a + n b + n c = n a + b + c HD: Biến đổi tơng đơng đẳng thức đẵ cho cách lập phơng hai vế ta đợc: a + b + c = a + b + c a + b + c = a + b + c + 3(3 a + b )(3 ab + ac + bc + c ) (3 a + b )(3 ab + ac + bc + c ) = Nếu (3 ab + ac + bc + c ) = ab + c (3 a + b + c ) = ab = a + b + c ; a + b + c = a + b + c ab = (a + b + c ) (a + c)(b + c ) = a = c b = c ; a = -c n a = n c với n lẻ n a + n b + n c = n a + b + c với n lẻ; b = -c n b = n c với n lẻ n a + n b + n c = n a + b + c với n lẻ; a + b = a = b a = b n a = n b với n lẻ n a + n b + n c = n a + b + c với n lẻ; Vì Bài tập 11.Cho x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by x + y + z # 2 + + 1+ a 1+ b 1+ c HD Cộng vế với vế ta đợc: x + y + z = 2(ax + by + cz ), Tính giá trị biểu thức: B = thay thích hợp ta đợc: x + y + z = 2( z + cz ) = z (1 + c) + c = x+ y+z ; 2z CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP tơng tự ta có; + b = B= x+ y+z x+ y+z + a = ; thay vào B ta đợc: 2y 2x 4y 4( x + y + z ) 4x 4z + + = = =2 x+ y+z x+ y+z x+ y+z x+ y+z 2 + + = x+ y+z x+ y+z x+ y+z 2x 2y 2z Bài tập 12 Chứng minh HD Ta có: xy + y = yt + Cộng trừ vế với vế ta đợc: t = xy + y xt + x x y= y t= x = t = x+ t yt + = y t y xt + x = y = t, x y t = x y t = y t ( x y )( y t )( t x ) = ( ( y t) t x xyt x t x= ; t x Nhân vế với vế ta đợc: ( x y )( y t )( t x ) = t = t+ ; t x = = y+ y t y t )( y x t x x y t x x y x y = x y x y ; ; ) x y.t = x y = 0; y t = 0; t x = x = y = t Bài tập 13 Cho a, b, c đôi khác thoả mãn ( a + b + c ) = a + b + c a2 b2 c2 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD ( a + b + c ) = a + b + c a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca = a + b + c 2ab + 2bc + 2ca = ab + bc + ca = ab = bc ca, bc = ab ca, ca = ab bc, thay vào P ta đợc: Tính giá trị biểu thức: P = P= a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + = + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab a + bc ab ca b + ac ab bc c + ab bc ca = a2 b2 c2 + + a (a c) b(a c) b(a b) + c(a b) c(b c) + a (b c ) = a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + = + (a c)(a b) (a b)(c b) (b c)(a c) (a c )(a b) (a b)(b c) (b c)(a c ) a (b c) b (a c) c ( a b) = + (a c)(a b)(b c) (a b)(b c)(a c) (b c)(a c )(a b) = a (b c ) b (c a ) + c (a b) a (b c) b a + b c + c a c b = = (a c)(a b)(b c ) (a c )(a b)(b c) CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP a (b c ) b a + c a + b c c b a (b c ) a (b + c)(b c) + bc(b c ) = = (a c)(a b)(b c) (a c)(a b)(b c) (b c)(a ab ac + bc ) (b c)[ a (a b) c(b c)] (b c)(a b)(a c) = = = =1 (a c )(a b)(b c) (a c )(a b)(b c ) (a c)(a b)(b c) Bài tập 14 Cho a + b + c = a,b,c # 6a 6b 6c số nguyên + + a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 HD a + b + c = a = (b + c) a = [ ( b c ) ] a = b + c + 2bc a b c = 2bc, (*) ; Biến đổi tơng tự ta có đợc: b c a = 2ca, (**), c a b = 2ab, (* * *); Chứng minh rằng: A = 3(a + b + c ) 6a 6b 6c 6a 6b 6c + + = + + = (* * **) 2bc 2ca 2ab 2bc 2ca 2ab abc Ta lại có: a + b + c = a = (b + c ) a = [ ( b c ) ] a = (b + c + 3b c + 3bc ) a + b + c = (3b c + 3bc ) a + b + c = 3bc(b + c ) a + b + c = 3bc(a ) Thay (*),(**),(***) A ta đợc: A = a + b + c = 3abc, (* * * * *) 3(a + b + c ) 3.3abc = = =3 abc abc a b c x y z + + = Bài tập 15 Cho a, b, c x, y, z khác khác thoả mãn: + + = x y z a b c Thay (*****) vào (****) ta đợc: A = Tính M = x2 y2 z2 + + ; (* * *) a2 b2 c2 xy yz x y z x2 y2 z2 zx x y z + + = + + = 12 + + + + + =1 a b c ab bc ca a b c a b c 2 2 2 y y x z x z xy yz zx xy yz zx xyc + yza + zxb + + + + + = + + = + + = (*) abc a b c a b c ab bc ca ab bc ca ; a b c ayz + bxz + cxy = ayz + bxz + cxy = 0; (**) ; Ta lại có: + + = x y z xyz HD Ta có Thay (*), (**) vào (***) ta đợc: M = x2 y2 z2 + + = =1 abc a b c Bài tập 16 Cho số dơng a, b, c a, b, c chứng minh nếu: aa + bb + cc = ( a + b + c )( a + b + c ) a b c = = a b c HD.Bình phơng hai vế ta đợc: aa + bb + cc + aa bb + bb cc + cc aa = aa + bb + cc + ab + ac + ba + bc + ca + cb aa bb + bb cc + cc aa = ab + ac + ba + bc + ca + cb (ab aa bb + ba ) + (ac cc aa + ca ) + (bc bb cc + cb ) = ( ab ba ) + ( ac ca ) + ( bc cb ) = ( ab ba ) = 0, ( ac ca ) = 0, ( bc cb ) = ab = ba, ac = ca, bc = cb CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP a b a c b c a b c = ; = ; = = = a b a c b c a b c Bài tập 17: a)Cho S = + 1 + + + + Hãy so sánh S k (1998 k + 1) 198 1 + + + + b)Cho A = Hãy so sánh A > 1,999 1.1999 2.1998 3.1997 199 1 HD áp dụng BĐT: a + b ab Ta có: ab a + b 2 2 + + + + + + = a) S + 1998 + 1997 + 1996 k + 1998 k + 198 1998 1998 =2 + + 1999 1999 198 b) Tơng tự câu a 1.1998 2.1997 Bài tập 18.Tìm x, y cho x+ yz = x + 1998 1999 y z DDK: x , y 0, z 0, x + y z HD BPHV ta đợc: ( x + y z + z ) = ( x + y ) x + y z + z + x + y z z = x + y + xy x + y z z = xy, BPHV ta đợc: ( x + y z ).z = xy xz + yz z xy = z ( x z ) y ( x z ) = ( x z ).( z y ) = x = z, z = y, x = y = z ( )( ) Bài tập 19 Cho a + a + 2006 b + b + 2006 = 2006, tính tổng a + b ( )( )( ) ( HD: a + a + 2006 b + b + 2006 a a + 2006 = 2006 a a + 2006 ( (b + )( ) ( ) + 2006 )( 2006 ) = 2006(a a + 2006 ) (b + b b + b + 2006 a a 2006 = 2006 a a + 2006 b2 2 ) ( + 2006 = ) a + 2006 a ) a + b = a + 2006 b + 2006, (*) Làm tơng tự ta đợc: a + b = b + 2006 a + 2006, (**) Cộng vế với vế (*) (**) ta đợc: 2( a + b ) = a + b = 1 + + =0 Bài tập 20 Chứng minh x + y z = y+zx z+x y x+ yz HD y )2 = z x + y + xy = z x + y z = xy ; x+ y z =0( x+ x+ y z = ( x z ) = ( y ) x + z xz = y x + z y = xz ; x + y z = ( y z ) = ( x ) y + z yz = x y + z x = yz Thay kết ta đợc: y x+ y z 1 1 1 x z + + = + = + = =0 y + z x z + x y x + y z yz zx xy xyz zxy xyz xyz Bài tập 21.Tính giá trị biểu thức M = x( y )( z ) + x,y,z > thoả mãn y ( z )( x ) + z ( x )( y ) xyz với x + y + z + xyz = CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP a+b b+c c+a = = c a b a b c Tính giá trị biểu thức M = + .1 + .1 + b c a a + b b + c c + a a + b + b + c + c + a 2(a + b + c) = = = = = a + b = 2c, b + c = 2a, c + a = 2b HD c a b c+a+b a+b+c a b c a + b b + c a + c 2c 2a 2b 8a.b.c M = + .1 + .1 + = =8 = = c a b c a b c a a.b.c b Bài tập 22 Cho số a, b, c khác đôi là: PHN II: 47 BI TON THUC CH RT GN BIU THC TUYN CHN Cõu ( im ) Cho biu thc : A=( x + x +1 )2 x2 x2 1) Tỡm iu kin ca x biu thc A cú ngha 2) Rỳt gn biu thc A phng trỡnh theo x A = -2 Cõu ( im ) Cho biu thc : A = ( x+x x x Cho biu thc : A = x +2 ) : x x + x + a) Rỳt gn biu thc Cõu ( im ) 3) Gii b) Tớnh giỏ tr ca x +1 : A x = + x x +x+ x x x a) Rỳt gn biu thc A Cõu : ( 2,5 im ) b) Coi A l hm s ca bin x v thi hm s A 1 + Cho biu thc : A= ữ: ữ+ 1- x + x x + x x a) Rỳt gn biu thc A b) Tớnh giỏ tr ca A x = + c) Vi giỏ tr no ca x thỡ A t giỏ tr nh nht Cõu ( 2,5 im ) a a a a + a + ữ ữ: a a a+ a a2 Cho biu thc : A = a) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ A xỏc nh b) Rỳt gn biu thc A c) Vi nhng giỏ tr nguyờn no ca a thỡ A cú giỏ tr nguyờn CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP Cõu ( im ) Cho biu thc : A = 1+ a 1+ a + + a + a 1+ a 1+ a 1+ a 1) Rỳt gn biu thc A 2) Chng minh rng biu thc A luụn dng vi mi a Cõu ( im ) 1) Cho biu thc : P = a +3 a a + 4a a a +2 (a>0;a 4) a) Rỳt gn P b) Tớnh giỏ tr ca P vi a = 2) Cho phng trỡnh : x2 – ( m + 4)x + 3m + = ( m l tham s ) a) Xỏc nh m phng trỡnh cú mt nghim bng Tỡm nghim cũn li b) Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim x1 ; x2 tho x13 + x23 1 ( x + )6 ( x + ) x x Cõu Cho x > hóy tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 3 (x + ) + x + x x 3+ x 2+ x x 4x + ):( ) Cõu Cho biu thc P = ( x x2 x x 2+ x x a) Rỳt gn P x3 = 11 Hóy tớnh giỏ tr ca P 4×2 5x Cõu 10 Xột biu thc A = ( + 2x 4x 1 2x b) Cho a) Rỳt gn A b) Tỡm giỏ tr x A = -1/2 Cõu 11 Cho biu thc A= ): x 4x + 4x + x+4 x4 + x4 x4 16 +1 x2 x a) Vi giỏ tr no ca x thỡ A xỏc nh b) Tỡm x A t giỏ tr nh nht c) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x A nguyờn Cõu 12 Cho biu thc P = ( x x +1 x ):( ) x +1 x 1 x x +1 x a) Rỳt gn P b) Chng minh rng P 0;a 4) a) Rỳt gn P b) Tớnh giỏ tr ca P vi a = CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP 9 2) Cho phng trỡnh : x2 – ( m + 4)x + 3m + = ( m l tham s ) a) Xỏc nh m phng trỡnh cú mt nghim bng Tỡm nghim cũn li b) Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim x1 ; x2 tho x13 + x23 3) Rỳt gn biu thc : P = x +1 x ( x 0; x 0) x 2 x +2 x x x P = + : Cõu 22: Cho biu thc ữ ữ x + x x x + x x a) Tỡm iu kin P cú ngha v rỳt gn P b) Tỡm cc giỏ tr nguyờn ca x biu thc P x nhn giỏ tr nguyờn Cõu 23 a + a a a 1.Cho P = + ữ1 ữ; a 0, a a + + a a) Rỳt gn P b) Tỡm a bit P > c) Tỡm a bit P = a 2x ) 1.Cho P = ( 16x ; x 4x 2 a) Chng minh P = 2x b) TớnhP x = Cõu 24 (2 im) Cho biu thc: a+ a a a A = + ; a 0, a a +1 a Rỳt gn biu thc A Tỡm a v a1 tho ng thc: A= -a2 Cõu 25 (1,5 im) Rỳt gn biu thc: a a M = + a ; a 0, a a + a Cõu 26 (2 im) Cho biu thc: y y xy : S = + ; x > 0, y > 0, x y x + xy x xy x y Rỳt gn biu thc trờn Tỡm giỏ tr ca x v y S=1 Cõu 27 (2 im) CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP 109 Cho biu thc A = x +1 x + xx ; x > 0, x Rỳt gn biu thc A Tớnh giỏ tr ca A x = Cõu 28 Cho biu thc: x +2 x x +1 Q = ; x > 0, x x x x + x +1 a Chng minh Q = x b Tỡm s nguyờn x ln nht Q cú giỏ tr l s nguyờn ( Chng minh: a b ) + ab a b b a = ab a+ b ab ; a > 0, b > Cõu 29 (2 im) Cho biu thc: A = x x +2 : x x x +1 ; x >, x 1, x x 1 Rỳt gn A Tỡm x A = Cõu 30 : (1,5 im) Rỳt gn biu thc: x+ x x x + ; x 0, x x + x Cõu 31 (2 im) A= Cho biu thc: x x +1 x x +1 ; x Rỳt gn biu thc Gii phng trỡnh A=2x Tớnh giỏ tr ca A x = 3+ 2 Rỳt gn biu thc A= a +1 a2 a2 + a + a + a + a3 a a ; a > Cho biu thc: F= x + x + x x 1 Tỡm cỏc giỏ tr ca x biu thc trờn cú ngha Tỡm cỏc giỏ tr x2 F=2 Cõu 32 (2 im): Cho biu thc: N = a ab + b + b ab a a+b ab CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP 119 vi a, b l hai s dng khỏc Rỳt gn biu thc N Tớnh giỏ tr ca N khi: a = + ; b = Cõu 33 (2,5 im): Cho biu thc: T = x+2 x x + x +1 x + x +1 x +1 ; x > 0, x x 1 Rỳt gn biu thc T Chng minh rng vi mi x > v x1 luụn cú T ; b > ab a+ b Cõu 36 (2 im) Cho biu thc: M = x x ( x) 1+ x + x ; x 0; x 1 Rỳt gn biu thc M Tỡm x M Cõu 37 x2 x+3 +4 Cho A= x x 3x + x + x x + x3 Chng minh A 1 ,99 9 1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 1 HD áp dụng BĐT: a + b ab Ta có: ab a + b 2 2 + + + + + + = a) S + 199 8 + 199 7 + 199 6 k + 199 8 k + 198 199 8 199 8 =2 + + 199 9 199 9 198 b) Tơng… 100 99 ) + + 100 99 (100 99 ) ( 100 99 ) 100 99 1 1 1 1 + + + + =1 = 10 10 2 3 99 100 c)Trục thức rút gọn Bài tập Cho số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1 .Tính giá trị biểu thức: … 1 1 + + + + b) B = = 2+ +2 3+3 100 99 + 99 100 1 1 = + + + + ( + 1) 2( + 2) 100 99 ( 100 + 99 ) 3( + 3) 1 1 = + + + + ( + 1) 2( + 2) 100 99 ( 100 + 99 ) 3( + 3) = = ( 1) 1(2 1) ( 1) + +

– Xem thêm –

Xem thêm: CHUYÊN đề CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC và các bài TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CHỌN lọc lớp 9, CHUYÊN đề CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC và các bài TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CHỌN lọc lớp 9,

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập