Chứng minh phương trình tiếp tuyến

Rate this post

MỤC LỤC

Tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm bất kỳ thuộc đường cong là một đường thẳng chỉ ” chạm ” vào đường cong tại điểm đó. Tiếp tuyến như một đường thẳng nối một cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong. Chính xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường cong y = f ( x ) tại điểm x = c trên đường cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm ( c, f ( c ) ) trên đường cong và có độ dốc f ‘ ( c ) với f ‘ là đạo hàm của f .Nội dung chính

Table of Contents
II. Các dạng toán thường gặp của phương trình tiếp tuyến
1. Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0,y0) có dạng:
2. Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
3. Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k
Kiến thức cần nhớ về phương trình tiếp tuyến
Các dạng viết phương trình tiếp tuyến thường gặp
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số m
Video liên quan

Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao của đường tiếp tuyến và đường cong trên, được gọi là tiếp điểm, đường tiếp tuyến “đi theo hướng” của đường cong, và do đó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm tiếp xúc đó.

Bạn đang đọc: Chứng minh phương trình tiếp tuyến

Mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định là mặt phẳng ” chỉ chạm vào ” mặt cong tại điểm đó .

– Hệ số góc k của tiếp tuyến chính là f′(x). Vậy khi bài toán cho hệ số góc k thì các bạn sẽ đi giải phương trình sau:
f′(x0) = k; với x0 là hoành độ tiếp điểm.

Giải phương trình này các bạn sẽ tìm được x0, từ đó sẽ tìm được y0 .

Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 là thông số góc của tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số tai điểm M ( x0 ; y0 ) .

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;y0) là y = y′(x0)(x−x0) + y0

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x.

II. Các dạng toán thường gặp của phương trình tiếp tuyến

Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k

1. Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0,y0) có dạng:

y = f ‘ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 ( 1 )Trong đó : f ‘ ( x0 ) là đạo hàm của hàm số tại điểm x0 .x0 ; y0 là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M .

Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng là: f′(x0); x0 và y0.

Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm:

Để viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trước M ( x0, y0 )Cách làm : Bài toán nhu yếu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M ( x0, y0 ) thì việc làm cần làm là tìm f ′ ( x0 ) ; x0 và y0, trong đó x0, y0 chính là tọa độ của điểm M, vì thế chỉ cần tính f ′ ( x0 ), rồi thay vào phương trình ( 1 ) là xong .

2. Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho đồ thị hàm số y = f ( x ), viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A ( a, b )

Phương pháp:

Gọi phương trình tiếp tuyến của Δ có dạng : y = f’x _ { 0 } ( x – x_ { 0 } ) + y_ { 0 } ( 2 )Và có tiếp điểm M0 ( x0, y0 )Vì A ( a, b ) thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có :b = f ′ x0 ( a – x0 ) + fx0 với fx0 = y0Phương trình này chỉ chứa ẩn x0, do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìm x0 .Sau đó sẽ tìm được f ′ x0 và y0 .Tới đây phương trình tiếp tuyến của tất cả chúng ta đã tìm được .

3. Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị ( C ) y = f ( x ) khi thông số góc k ta làm theo những bước sau :

Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
Bước 2: Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ x0 của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm M0(x0;y0) với y0=f(x0)
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Δ tại tiếp điểm M0(x0;y0):

y = f ′ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0

*Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì k= −a

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những kiến thức toán cơ bản để ôn thi kết thúc THPT. Muốn thành thạo dạng toán phương trình tiếp tuyến này, không có cách nào khác là ta phải làm bài tập nhiều để ghi nhớ rõ ràng các phương pháp. Xem thêm các kiến thức về bài toán hàm số và vẽ đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trọng những dạng bài tập thường có trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông hay đề thi đại học hiện nay. Với rất nhiều dạng bài như: viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại 1 điểm, đi qua 1 điểm, biết hệ số góc,..Tất cả sẽ được chứng tôi chia sẻ chi tiết trong bài viết dưới đây giúp các bạn hệ thống lại kiến thức của mình nhé

Kiến thức cần nhớ về phương trình tiếp tuyến

Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 là thông số góc của tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số tại điểm M ( x0 ; y0 ). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) là y = y ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0
Trong đó :
Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0 .

Lưu ý:

Tham khảo thêm:

Các dạng viết phương trình tiếp tuyến thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Phương pháp:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) .

Lưu ý:

Ví dụ 1 : Cho hàm số ( C ) : y = x3 + 3×2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M ( 1 ; 4 ) .
Hướng dẫn
Ta có y ’ = 3×2 + 6 x ;
=> k = y ‘ ( 1 ) = 3. 12 + 6.1 = 9
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M ( 1 ; 4 ) là :
d : y = y ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0

y = 9(x – 1) + 4 = 9x – 5

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 x – 5
Ví dụ 2 : Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số ( C ) : y = ( 2 x + 1 ) / ( x – 1 ) và có hoành độ bằng – 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) tại điểm M .
Lời giải :
Ta có : x0 = – 1. Suy ra y0 = y ( – 1 ) = 1/2
Phương trình tiếp tuyến tại M là
Ví dụ 3 : Cho hàm số ( C ) : y = 4×3 – 6×2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( – 1 ; – 9 ) .
Hướng dẫn
Ta có y ’ = 12×2 – 12 x
Gọi M ( x0, y0 ) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M có dạng :
y = ( 12×02 – 12×0 ) ( x – x0 ) + 4×03 – 6×02 + 1
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A ( – 1 ; – 9 ) nên ta có :
– 9 = ( 12×02 – 12×0 ) ( – 1 – x0 ) + 4×03 – 6×03 + 1

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( xA ; yA )

Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến đi qua A ( xA ; yA ), thông số góc k có dạng : d : y = k ( x – xA ) + yA ( * )
Bước 2 : d là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi hệBước 3 : Giải hẹ trên tìm được x => K và thế vào phương trình ( * ) thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2.

Bước 1. Gọi M ( x0 ; f ( x0 ) ) là tiếp điểm và tính thông số góc tiếp tuyến k = y ‘ ( x0 ) = f ‘ ( x0 ) theo x0
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0 ( * * ). Do điểm A ( xA ; yA ) ∈ d nên yA = y ‘ ( x0 ) ( xA – x0 ) + y0giải phương trình này ta tìm được x0 .
Bước 3. Thế x0vào ( * * ) ta được tiếp tuyến cần tìm .
Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = – 4×3 + 3 x + 1 đi qua điểm A ( – 1 ; 2 ) .
Lời giải :
Ta có : y ’ = – 12×2 + 3
Đường thẳng d đi qua A ( – 1 ; 2 ) có thông số góc k có phương trình d : y = k ( x + 1 ) + 2 .
Đường thẳng d là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi hệRút k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được :
– 4×3 + 3 x + 1 = ( – 12×2 + 3 ) ( x + 1 ) + 2
⇔ 8×3 + 12×2 – 4 = 0
⇔ ( x – ½ ) ( x + 1 ) 2 = 0
⇔ x = – 1 hoặc x = ½
+ Với x = – 1. Thế vào phương trình k = – 12×2 + 3 ta được k bằng – 9 .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 9 x – 7 .
+ Với x = 50%. Thế vào phương trình k = – 12×2 + 3 ta được k bằng 0 .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2 .
Vậy đồ thị ( C ) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A ( – 1 ; 2 ) là y = – 9 x – 7 và y = 2 .
Ví dụ 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của ( C ) :Lời giải
Điều kiện : x ≠ – 1. Ta có :Đường thẳng ( d ) đi qua điểm A ( – 1 ; 4 ) có thông số góc k có phương trình : y = k ( x + 1 ) + 4 .
Đường thẳng d là tiếp tuyến của ( C )

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

Phương pháp:

Xem thêm: Công thức tính công suất dễ hiểu nhất 2022

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) với thông số góc k cho trước .

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ : y = ax + b nên tiếp tuyến có thông số góc k = a. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) là y = a ( x − x0 ) + y0

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Δ : y = ax + b nên tiếp tuyến có thông số góc k = − 1 / a. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) là − 1 / a ( x − x0 ) + y0

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tạo với trục hoành 1 góc α

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα .
Tổng quát : tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ : y = ax + b một góc α, khi đóVí dụ 1 : Cho hàm số y = x3 – 3×2 + 6 x + 1 có đồ thị ( C ). Viết phương trình tiếp tuyến có thông số góc nhỏ nhất .
Lời giải
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm .
Ta có y ’ = 3×2 – 6 x + 6
Khi đó y ’ ( x0 ) = 3×02 – 6×0 + 6 = 3 ( x02 – 2×0 + 2 ) = 3 [ ( x0 – 1 ) 2 + 1 ] ≥ 3
Vậy thông số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y ’ ( x0 ) = 3, dấu bằng xảy ra khi x0 = 1
Với x0 = 1 thìKhi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 ( x – 1 ) + 5 = 3 x + 2
Ví dụ 2 : Cho hàm số ( C ) : y = x3 – 3 x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đó có thông số góc bằng 9 .
Lời giải :
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm .
Ta có y ’ = 3×2 – 3
Khi đó y ‘ ( x0 ) = 3×02 – 3 = 9 ⇔ x = ± 2
Với x0 = 2 => y0 = ( 2.3 ) – 3.2 + 2 = 4. Ta có tiếp điểm M1 ( 2 ; 4 ) .
Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1 : y = 9 ( x – 2 ) + 4 ⇔ y = 9 x – 14
+ Với x0 = – 2 => y0 = 0. Ta có tiếp điểm M2 ( – 2 ; 0 ) .
Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2 : y = 9 ( x + 2 ) + 0 ⇔ y = 9 x + 18
Kết luận : Vậy đồ thị hàm số ( C ) có 2 tiếp tuyến có thông số góc bằng 9 là ( d1 ) : y = 9 x – 14 và ( d2 ) : y = 9 x + 18 .
Ví dụ 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x3 + ½ x2 – 2 x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + 3 y – 1 = 0 một góc 450 .
Lời giải
Gọi tọa độ tiếp điểm là M ( x0, y0 ) .
Có y ’ = x2 + x – 2
Phương trình đường thẳng d : x + 3 y – 1 = 0 ⇔ y = – 1/3 x + 1/3
Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + 3 y – 1 = 0 một góc 450 nên ta có
x0 = 0 ⇒ y ( x0 ) = 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y = – 2 ( x – 0 ) + 1 = – 2 x + 1
x0 = – 1 ⇒ y ( x0 ) = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y = – 2 ( x + 1 ) + 19/6 = – 2 x + 7/6
Vậy những phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số m

Phương pháp :
Dựa vào điều kiện kèm theo bài toán và những dạng toán ở trên để biện luận tìm ra tham số m thỏa mãn nhu cầu nhu yếu đề bài .
Ví dụ : Cho hàm số y = x3 – 3×2 có đồ thị hàm số ( C ). Gọi M là điểm thuộc đồ thị ( C ) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của ( C ) tại M song song với đường thẳng Δ : y = ( mét vuông – 4 ) x + 2 m – 1 .
Lời giải
TXD : D = R
Ta có : y ’ = 3×2 – 6 x .
Điểm M có hoành độ x0 = 1 nên suy ra y0 = x03 – 3×02 = 13 – 3.12 = – 2
Vậy tọa độ điểm M ( 1 ; – 2 ) .
Phương trình tiếp tuyến ( d ) tại điểm M ( 1 ; – 2 ) của ( C ) có dạng :
y – y0 = y ‘ ( x0 ). ( x – x0 ) y + 2 = ( 3.12 – 6.1 ). ( x – 1 ) y = – 3 x + 1 .
Khi đó để ( d ) / / Δ :
Từ đó phương trình đường thẳng Δ : y = – 3 x + 3 .
Kết luận : vậy với m = – 1 thì tiếp tuyến ( d ) của ( C ) tại điểm M ( 1 ; – 2 ) song song với đường thẳng Δ .
Hy vọng với những kiến thức và kỹ năng mà chúng tôi vừa nghiên cứu và phân tích phía trên hoàn toàn có thể giúp những bạn mạng lưới hệ thống lại được kỹ năng và kiến thức từ đó biết giải nhanh những dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến nhé

Đánh giá bài viết