Chứng Minh Hàm Số Đồng Biến Trên Khoảng (, Định Nghĩa Và Điều Kiện Đủ

Ở các lớp trước, chúng ta đã biết (hiểu một cách đơn giản) hàm số y = f(x) là đồng biến nếu giá trị của x tăng thì giá trị của f(x) hay y tăng; nghịch biến nếu giá trị của x tăng nhưng giá trị của y = f(x) giảm.

Bạn đang xem: Chứng minh hàm số đồng biến

Vậy quy tắc xét tính đơn điệu ( hàm số luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến trên khoảng chừng xác lập K ) như thế nào ? Nội dung bài viết dưới đây sẽ giải đáp câu hỏi này .

A. Lý thuyết hàm số đồng biến, nghịch biến.

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhắc lại sự đồng biến, nghịch biến

– Kí hiệu K là một khoảng chừng, một đoạn hoặc 50% khoảng chừng .• Hàm số y = f ( x ) đồng biến ( tăng ) trên K ⇔ ∀ x1, x2 ∈ K, x1 2 thì f ( x1 ) 2 ) .• Hàm số y = f ( x ) nghịch biến ( giảm ) trên K ⇔ ∀ x1, x2 ∈ K, x1 2 thì f ( x1 ) > f ( x2 ) .

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K .- Nếu f đồng biến trên K thì f ” ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ K .- Nếu f nghịch biến trên K thì f ” ( x ) ≤ 0 với mọi x ∈ K .

b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K .- Nếu f ” ( x ) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K .- Nếu f ” ( x ) Chú ý : Định lý lan rộng ra- Nếu f ” ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f ” ( x ) = 0 chỉ tại 1 số ít hữu hạn điểm thuộc K thì f đồng biến trên K .

 – Nếu f”(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f”(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.

Xem thêm: + Tác Dụng Của Nhân Hóa – Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Vĩnh Phúc

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

1. Quy tắc

i ) Tìm tập xác lậpii ) Tính đạo hàm f ” ( x ). Tìm những điểm xi ( i = 1, 2, …, n ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác lập .iii ) Sắp xếp những điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên .iv ) Nêu Kết luận về những khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số .

2. Áp dụng

* Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số:

¤ Lời giải:

– TXĐ : D = R- Ta có :– Bảng biến thiên :→ Vậy hàm số đồng biến trên những khoảng chừng ( – ∞ ; – 1 ) và ( 2 ; + ∞ ) nghịch biến trên khoảng chừng ( – 1 ; 2 ) .

B. Bài tập về tính đơn điệu của hàm số

* Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a ) y = 4 + 3 x – x2b ) y = ( 1/3 ) x3 + 3×2 – 7 x – 2c ) y = x4 – 2×2 + 3d ) y = – x3 + x2 – 5

¤ Lời giải:

a ) y = 4 + 3 x – x2- Tập xác lập : D = Ry ” = 3 – 2 xy ’ = 0 ⇔ 3 – 2 x = 0 ⇔ x = 3/2- Lập bảng biến thiên :→ Từ BBT suy ra hàm số đồng biến trong khoảng chừng ( – ∞ ; 3/2 ) và nghịch biến trong khoảng chừng ( 3/2 ; + ∞ ) .b ) y = ( 1/3 ) x3 + 3×2 – 7 x – 2- Tập xác lập : D = Ry ” = x2 + 6 x – 7y ” = 0 ⇔ x = – 7 hoặc x = 1- Lập bảng biến thiên .→ Từ BBT suy ra hàm số đồng biến trong những khoảng chừng ( – ∞ ; – 7 ) và ( 1 ; + ∞ ) ; nghịch biến trong khoảng chừng ( – 7 ; 1 ) .c ) y = x4 – 2×2 + 3- Tập xác lập : D = Ry ” = 4×3 – 4 x .y ” = 0 ⇔ 4×3 – 4 x = 0 ⇔ 4 x. ( x – 1 ) ( x + 1 ) = 0⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = – 1- Lập bảng biến thiên .→ Từ BBT suy ra hàm số nghịch biến trong những khoảng chừng ( – ∞ ; – 1 ) và ( 0 ; 1 ) ; đồng biến trong những khoảng chừng ( – 1 ; 0 ) và ( 1 ; + ∞ ) .d ) y = – x3 + x2 – 5- Tập xác lập : D = Ry ” = – 3×2 + 2 xy ” = 0 ⇔ – 3×2 + 2 x = 0 ⇔ x. ( – 3 x + 2 ) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x = 2/3.

→ Từ BBT suy ra hàm số nghịch biến trong những khoảng chừng ( – ∞ ; 0 ) và ( 2/3 ; + ∞ ), đồng biến trong khoảng chừng ( 0 ; 2/3 ) .

* Bài 3 trang 10 SGK Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số 

Chuyên mục: đồng biến trên khoảng chừng ( – 1 ; 1 ), nghịch biến trên khoảng chừng ( – ∞ ; – 1 ) và ( 1 ; + ∞ ). Chuyên mục : Kiến thức mê hoặc

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập