Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số: Lý Thuyết & Bài Tập Trắc Nghiệm

Tác giả Cô Hiền Trần

15,394

Hướng dẫn cách xét tính đơn điệu của hàm số, xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số trải qua việc ôn tập kim chỉ nan, quy tắc để vận dụng vào giải những dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao .

Kiến thức về hàm số đơn điệu đã được đề cập tại các lớp học trước, tuy nhiên ở chương trình Toán 12, kiến thức này sẽ xuất hiện những dạng toán phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh có kiến thức chắc hơn về hàm số. Kiến thức này cũng thường xuyên xuất hiện trong bài thi THPT QG những năm gần đây, vậy nên hiểu rõ dạng bài này này là rất quan trọng để dễ dàng “ăn điểm” trong kỳ thi. Cùng VUIHOC tìm hiểu để dễ dàng giải các dạng bài tập về xét tính đơn điệu của hàm số nhé!

1. Lý thuyết tính đơn điệu của hàm số

1.1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên K ( với K là một khoảng chừng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng chừng ) .

• Hàm số y=f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu $forall X_{1,}X_{2}in K$,$X_{1}
  {2}rightarrow>

• Hàm số y=f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu $forall X_{1,}X_{2}in K$,$X_{1}f(X_{2})Rightarrow f(X_{1})>f(X_{2})$.{2}rightarrow>

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K .

1.2. Các điều kiện kèm theo cần và đủ để hàm số đơn điệu

a ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng chừng K .

• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng chừng K thì f ‘ ( x ) = 0, $ forall x in $ K và f ‘ ( x ) = 0 xảy ra tại một số ít hữu hạn điểm .
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng chừng K thì f ‘ ( x ) 0, $ forall x in $ K và f ‘ ( x ) = 0 xảy ra tại một số ít hữu hạn điểm .

b ) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng chừng K .

• Nếu f ‘ ( x ) > 0, $ forall x in $ K thì hàm số đồng biến trên khoảng chừng K
• Nếu f ‘ ( x )
• Nếu f ‘ ( x ) = 0, $ forall x in $ K thì hàm số không đổi trên khoảng chừng K

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

2.1. Tìm tập xác lập

Để tìm tập xác lập của hàm số y = f ( x ) là tập giá trị của x để biểu thức f ( x ) có nghĩa ta có :
Nếu P. ( x ) là đa thức thì :
USD frac { 1 } { P ( x ) } $ có nghĩa $ P ( x ) neq 0 USD
USD frac { 1 } { sqrt { P ( x } ) } $ có nghĩa $ P ( x ) > 0 USD
USD sqrt { P ( x ) } $ có nghĩa $ P ( x ) geq 0 USD

2.2. Tính đạo hàm

Bảng công thức tính đạo hàm của hàm số cơ bản :

2.3. Lập bảng biến thiên

Giả sử ta có hàm số y = f ( x ) thì :

• f ’ ( x )
• f ’ ( x ) > 0 ở đâu thì hàm số sẽ đồng biến ở đấy .

Quy tắc chúng sẽ là :

• Ta tính f ’ ( x ), sau đó giải phương trình f ’ ( x ) = 0 tìm nghiệm .
• Lập bảng xét dấu f ’ ( x ) .
• Sau đó dựa vào bảng xét dấu và Tóm lại

2.4. Kết luận khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Đây là bước quan trọng, ở bước này những em sẽ Tóm lại được sự đồng biến nghịch biến của hàm số trên khoảng chừng nào. Để hiểu rõ hơn thì cùng tìm hiểu thêm những ví dụ dưới đây nhé !
Ví dụ : Xét sự đồng biến, nghịch biến của những hàm số : USD y = frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 8 x – 2 USD
Giải :
TXĐ : D = R, $ y ’ = x ^ { 2 } – 6 x ^ { 2 } + 8 USD, y ’ = 0
x = 2 hoặc x = 4
Ta có bảng biến thiên :

Kết luận hàm số đồng biến trên khoảng chừng USD ( – infty ; 2 ) USD và USD ( 4 ; + infty ) USD, nghịch biến trên khoảng chừng ( 2 ; 4 )

3. Giải các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

3.1. Xét tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m

* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH

Phương pháp: 

• Đối với hàm đa thức bậc ba : USD y = f ( x ) = ax ^ { 3 } + bx ^ { 2 } + cx + d USD ; USD ( a neq 0 ) USD .

Tính USD f ‘ ( x ) = 3 ax ^ { 2 } + 2 bx + c USD, khi đó

• Hàm đa thức bậc ba y = f ( x ) đồng biến trên R $ Leftrightarrow alpha > 0 $ và $ triangle ‘ = b ^ { 2 } – 3 bc leq 0 USD
• Hàm đa thức bậc ba y = f ( x ) nghịch biến trên R $ Leftrightarrow alpha

• Đối với hàm phân thức bậc nhất : USD y = frac { ax + b } { cx + d } $

Tính USD y ‘ = frac { ad-bc } { ( cx + d ) ^ { 2 } } $ khi đó :

• Hàm số đồng biến trên những khoảng chừng xác lập khi y ’ > 0 hay ( ad-bc ) > 0
• Hàm số nghịch biến trên những khoảng chừng xác lập khi y ’

Ví dụ: Cho hàm số: $f(x)=x^{3}-3mx^{2}+3(2m-1)x+1$. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. 

Lời giải: 

• TXĐ : D = R
• Tính USD f ‘ ( x ) = 3 x ^ { 2 } – 6 mx + 3 ( 2 m – 1 ) USD

Đặt $g(x) = 3x^{2}-6mx+3(2m-1)$ có a = 3; b = -6m; c= 3(2m-1);

Để hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi :
USD alpha > 0 và triangle ‘ = b ^ { 2 } – a. c leq 0 USD
USD Leftrightarrow alpha = 3 > 0 $ và $ triangle ‘ = 9 ( m-1 ) ^ { 2 } leq 0 USD
USD Leftrightarrow m = 1 USD

Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R

* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên KHOẢNG CHO TRƯỚC

Phương pháp: 

• Bước 1 : Kiểm tra tập xác lập : Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện kèm theo của tham số để hàm số xác lập trên khoảng chừng ( a ; b ) .
• Bước 2 : Tính f ‘ ( x ) và tìm điều kiện kèm theo của tham số để USD f ‘ ( x ) geq 0 USD hoặc USD f ‘ ( x ) leq 0 $ trên khoảng chừng ( a ; b ) theo nhu yếu bài toán .

Ví dụ: Cho hàm số $f(x)=x^{3}-3x^{2}-3(m+1)x-(m+1)$ (*)

Tìm m để hàm số đồng biến trên USD [ 1 ; + infty ) USD .

• Để hàm số đồng biến trên USD [ 1 ; + infty ) USD thì USD f ‘ ( x ) geq 0, x [ 1, + infty ) USD .

USD Rightarrow 3 x ^ { 2 } – 6 x – 3 ( m + 1 ) geq 0 USD, $ forall x in [ 1 ; + infty ] $
USD Rightarrow x ^ { 2 } – 2 x – m-1 geq 0 USD, $ forall x in [ 1 ; + infty ] $
USD Rightarrow x ^ { 2 } – 2 x – 1 geq m USD, $ forall x in [ 1 ; + infty ] $

• Đặt $ y ( x ) = Rightarrow x ^ { 2 } – 2 x – 1 Rightarrow y ‘ = 2 x – 2 USD
• Cho USD y ’ = 0 Rightarrow x = 1 USD. Ta có bảng biến thiên sau :

Từ bảng biến thiên ta có $ y ( x ) geq m USD, USD x [ 1 ; + infty ] $
Min $ [ y ( x ) ] = – 2 geq m Rightarrow leq – 2 USD
USD x [ 1 ; + infty ) USD

3.2. Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tìm khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = | f ( x ) |

• f ( x ) đơn cử cho trước. VD : $ | x ^ { 2 } – 4 x | $
• f ( x ) có tham số dạng tách rời. VD : $ | x ^ { 3 } – m | USD

Bước 1 : Khảo sát và lập bảng biến thiên của f ( x )
Bước 2 : Dùng phép suy bảng biến thiên của hàm số | f ( x ) |

• Giữ nguyên phần nằm trên y = 0
• Lấy đối xứng qua y = 0 phần bên dưới
• Nhìn vào bảng biến thiên của | f ( x ) | suy ra đồng biến, nghịch biến

Ví dụ :
Tập hợp tổng thể những giá trị của tham số m để hàm số USD y = | x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + m – 4 | USD
Giải :
Xét hàm số : USD f ( x ) = x3-3x ^ { 2 } + m – 4 USD
Ta có USD f ’ ( x ) = 3 x ^ { 2 } – 6 x USD, f ’ ( x ) = 0 x = 0 hoặc x = 2
Bảng biến thiên của hàm số f ( x )

Vì đồ thị hàm số y = f ( x ) có được nhờ giữ nguyên phần đồ thị hàm số của y = f ( x ) ở trục hoành, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị ở dưới lên trên qua trục Ox
Nên hàm số y = f ( x ) đồng biến trên USD ( 3 ; + infty ) Leftrightarrow f ( 3 ) geq 0 USD
USD m – 4 geq 0 Leftrightarrow m geq 4 USD

3.3. Xét tính đơn điệu của hàm số trên 1 khoảng chừng

Tìm m để hàm số đồng biến trên [ – 1 ; 3 ] .

• Để hàm số nghịch biến trên [ – 1 ; 3 ] thì f ’ ( x )
• USD leq 0, forall x in [ – 1,3 ] $ .

USD Rightarrow 3 x ^ { 2 } – 6 x – 3 ( m + 1 ) leq 0 USD, $ forall x in [ – 1,3 ] $
USD Rightarrow – 2 x – m-1 leq 0 USD, $ forall x in [ – 1,3 ] $ .
USD Rightarrow x ^ { 2 } – 2 x – 1 leq m USD, $ forall x in [ – 1,3 ] $ .

• Đặt $ y ( x ) = x ^ { 2 } – 2 x – 1 y ‘ ( x ) = 2 x – 2 USD
• Cho $ y ’ ( x ) = 0 Rightarrow x = 1 USD. Ta có bảng biến thiên sau :

Từ bảng biến thiên ta có : USD y ( x ) leq m USD, $ forall x in [ – 1,3 ] $
⇒ Max [ y ( x ) ] = USD 2 leq m ⇒ m geq 2 USD
USD x in [ – 1,3 ] $
Kết luận : Vậy với USD m geq 2 USD thì hàm số sẽ đồng biến trên khoảng chừng [ – 1 ; 3 ]

>> Tham khảo thêm:

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách xét tính đơn điệu của hàm số thường gặp. Tuy nhiên nếu em muốn đạt kết quả thì hãy làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Em có thể truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.

>> Xem thêm:

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập