Cách xác định góc giữa 2 đường thẳng trong không gian – https://thcsbevandan.edu.vn

Cách xác định góc giữa 2 đường thẳng trong khoảng trống

Phương pháp tọa độ trong khoảng trống là một trong những cách giải hiệu suất cao để tìm góc giữa 2 đường thẳng. Dạng toán này chỉ nhu yếu bạn xác định được đúng mực tọa độ của vecto chỉ phương, nhớ đúng mực được công thức góc .

1. Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Giả sử có hai phương trình đường thẳng trong khoảng trống có dạng tổng quát là Δ1 : ax + by + cz + d = 0 và Δ2 : Ax + By + Cz + D = 0. Vậy là

• Từ phương trình của Δ1 ta suy ra vecto chỉ phương $overrightarrow {{u_1}} $ = (a; b; c)
• Từ phương trình của Δ2 ta suy ra vecto chỉ phương $overrightarrow {{u_2}} $ = (A; B; C)

Dựa vào 2 vecto chỉ phương vừa tìm được, co hoàn toàn có thể tìm được góc giữa hai đường thẳng dựa vào công thưc tổng quát :
cosφ = cos ( Δ1 ; Δ2 ) $ { = cos left ( { overrightarrow { { u_1 } } ; { mkern 1 mu } { kern 1 pt } overrightarrow { { u_2 } } } right ) = frac { { left | { overrightarrow { { u_1 } }. { mkern 1 mu } { kern 1 pt } overrightarrow { { u_2 } } } right | } } { { left | { overrightarrow { { u_1 } } } right |. left | { { mkern 1 mu } { kern 1 pt } overrightarrow { { u_2 } } } right | } } } $
USD { = frac { { left | { aA + bB + cC } right | } } { { sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } }. sqrt { { A ^ 2 } + { B ^ 2 } + { C ^ 2 } } } } } $ ( 1 )
Trường hợp đặc biệt quan trọng :

• Góc được xác định theo (1) có giá trị: 00 ≤ φ ≤ 900
• Khi hai đường thẳng Δ1 ⊥ Δ2 aA + bB + cC = 0

2. Bài tập có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng d: $frac{{x + 1}}{3} = frac{{y – 6}}{5} = frac{{z – 2}}{2}$ với trục Ox

Hướng dẫn giải
Từ phương trình đường thẳng ta suy ra :

• Đường thẳng d có vecto chỉ phương $overrightarrow {{u_Delta }} $ = (3; 5; 2)
• Trục tọa độ Ox có vecto chỉ phương là $overrightarrow {{u_{Ox}}} $ = (1; 0; 0)

Khi đã biết được vecto chỉ phương của d và Ox, ta vận dụng công thức tìm góc giữa hai đường thẳng trong khoảng trống :
cosφ = $ frac { { left | { 3.1 + 5.0 + 2.0 } right | } } { { sqrt { { 3 ^ 2 } + { 5 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } }. sqrt { { 1 ^ 2 } + { 0 ^ 2 } + { 0 ^ 2 } } } } = frac { { 3 sqrt { 38 } } } { { 38 } } $
=> φ = 1,06 ( rad )
Kết luận : Góc tạo bởi 2 đường thẳng là φ = 1,06 ( rad )

Bài tập 2. Phương trình của hai đường thẳng có dạng Δ1: $frac{{x + 8}}{2} = frac{{y – 2}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ và  Δ2: $left{ begin{array}{l} z = 2 – 3t y = 1 + 2t x = 1 + mt end{array} right.$ Hãy tìm giá trị m để Δ1 ⊥ Δ2.

Hướng dẫn giải
Từ phương trình đường thẳng :

• Đường thẳng Δ1 có vecto chỉ phương: $overrightarrow {{u_{Delta 1}}} $ = (2; 2; 1)
• Đường thẳng Δ2 có vecto chỉ phương: $overrightarrow {{u_{Delta 2}}} $ = ( m; 2; 3)

Theo đề, khi Δ1 ⊥ Δ2 nghĩa là góc giữa 2 đường thẳng trong khoảng trống φ = 900 => cosφ = 0 ( 2 )

Từ phương trình (1) và (2): $0 = frac{{left| {2.m + 2.2 + 1.3} right|}}{{sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .sqrt {{m^2} + {2^2} + {3^2}} }} Rightarrow m = – 3,5$

Kết luận : Để hai đường thẳng trên vuông góc với nhau thì m = – 3,5
Nếu còn vướng mắc những bạn cứ để lại câu hỏi bên dưới để toanhoc.org giải đáp !

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập