Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cực hay – Toán lớp 12 - HocVienKhoiNghiep.Edu.Vn
Rate this post

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cực hay

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cực hay

Bài giảng: Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Quảng cáo

Bạn đang đọc: Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cực hay – Toán lớp 12

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) và điểm. M0 ( x0 ; y0 ) ∈ ( C )
Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 có dạng y = f ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0
Trong đó :

 Điểm M0 (x0; y0) ∈(C) được gọi là tiếp điểm ( với y0 = f(x0)).

 k = f’x0) là hệ số góc của tiếp tuyến.

Chú ý:

 Đường thẳng bất kể đi qua M0 ( x0 ; y0 ) có thông số góc k, có phương trình
y = k ( x – x0 ) + y0
 Cho hai đường thẳng Δ1 : y = k1 x + m1 và Δ2 : y = k2 x + mét vuông

Lúc đó: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Cho hai hàm số y = f ( x ), ( C ) và y = g ( x ), ( C ‘ )
( C ) và ( C ‘ ) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giảicó nghiệm.

Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó .

Đặc biệt: Đường thẳng y = kx + m là tiếp tuyến với (C):y = f(x) khi chỉ khi hệ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giảicó nghiệm.

3. Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp

Cho hàm số y = f ( x ) gọi đồ thị của hàm số là ( C )

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) tại M0 (x0; y0)

Phương pháp

Bước 1. Tính y ‘ = f ‘ ( x ) suy ra thông số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y ‘ ( x0 ) .
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) có dạng
y – y0 = f ‘ ( x0 ) ( x – x0 )

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) có hệ số góc k cho trước.

Phương pháp

Bước 1. Gọi M0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm và tính y ‘ = f ‘ ( x ) .
Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f ‘ ( x0 ). . Giải phương trình này tìm được x0 thay vào hàm số được y0 .
Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được những tiếp tuyến tương ứng
d : y – y0 = f ‘ ( x0 ) ( x – x0 )

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

Tiếp tuyến d Δ : y = ax + b ⇒ thông số góc của tiếp tuyến là k = a
Tiếp tuyến d Δ : y = ax + b ( a ≠ 0 ) ⇒ thông số góc của tiếp tuyến là k = – 1 / a
Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì thông số góc của tiếp tuyến d là k = ± tan ⁡ α

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA)

Phương pháp

Cách 1 .
Bước 1 : Phương trình tiếp tuyến đi qua A ( xA ; yA ) thông số góc k có dạng
d : y = k ( x – xA ) + yA ( * )
Bước 2 : là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bước 3 : Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình ( * ), ta được tiếp tuyến cần tìm .
Cách 2 .
Bước 1. Gọi M ( x0 ; f ( x0 ) ) là tiếp điểm và tính thông số góc tiếp tuyến
k = y ‘ ( x0 ) = f ‘ ( x0 ) theo x0
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0 ( * * ). Do điểm A ( xA ; yA ) ∈ d nên yA = y ‘ ( x0 ) ( xA – x0 ) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0 .
Bước 3. Thế x0 vào ( * * ) ta được tiếp tuyến cần tìm .

Quảng cáo

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = x3 + 3×2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4).

Hướng dẫn

Ta có y ‘ = 3×2 + 6 x ; y ‘ ( 1 ) = 9
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M ( 1 ; 4 ) là :
y = 9 ( x – 1 ) + 4 = 9 x – 5

Ví dụ 2: Cho hàm số (C):y = 4×3 – 6×2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9).

Hướng dẫn

Ta có y ‘ = 12×2 – 12 x
Gọi M ( x0, y0 ) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M có dạng :
y = ( 12×02 – 12×0 > ) ( x – x0 ) + 4×03 – 6×02 + 1
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A ( – 1 ; – 9 ) nên ta có :
– 9 = ( 12×02 – 12×0 ) ( – 1 – x0 ) + 4×03 – 6×03 + 1

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 15/4 ( x – 5/4 ) – 9/16 = 15/4 x – 21/4

Với x0 = -1 thì Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 24 ( x + 1 ) – 9 = 24 x + 15

Ví dụ 3: Cho hàm số (C):Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x – y + 2 = 0

Hướng dẫn

ĐKXĐ : x ≠ – 2. Ta có y ‘ = 3 / ( x + 2 ) 2 .
Phương trình Δ : 3 x – y + 2 = 0 hay Δ : y = 3 x + 2
Gọi tọa độ tiếp điểm là M ( x0, y0 )
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ : 3 x – y + 2 = 0 nên ta có

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với x0 = -1 Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 ( x + 1 ) – 1 = 3 x + 2 ( loại ) .

Với x0 = -3 Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 ( x + 3 ) + 5 = 3 x + 14 ( thỏa mãn nhu cầu )

Quảng cáo

Xem thêm: Công thức tính thể tích khối nón chuẩn kèm ví dụ dễ hiểu

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y = -2×3 + 6×2 – 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ bằng 3.

Hiển thị đáp án
Ta có y ‘ = – 6×2 + 12 x ; y ‘ ( 3 ) = – 18 ; y ( 3 ) = – 5
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là
y = – 18 ( x – 3 ) – 5 = – 18 x + 49

Câu 2: Cho hàm số (C):y = 1/4×4 – 2×2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 > 0 biết rằng y” (x0 )= -1.

Hiển thị đáp án
Ta có y ‘ = x3 – 4 x ; y ‘ ‘ = 3×2 – 4
Vì y ‘ ‘ ( x0 ) = – 1 ⇒ 3×02 – 4 = – 1 ⇒ x02 = 1 ⇒ x0 = 1 ( Vì x0 > 0 )
Với x0 = 1 ⇒ y0 = – 7/4 ; y0 ‘ = – 3. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M là :
y = – 3 ( x – 1 ) – 7/4 = – 3 x + 5/4

Câu 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y =(x – 5)/(-x + 1) tại điểm A của (C) và trục hoành. Viết phương trình của d.

Hiển thị đáp án
Hoành độ giao điểm của ( C ) và trục hoành là nghiệm của phương trình
( x – 5 ) / ( – x + 1 ) = 0 ⇒ x = 5
Khi đó tọa độ điểm A = ( 5 ; 0 )
ĐKXĐ x ≠ 1. Ta có y ‘ = ( – 4 ) / ( – x + 1 ) 2 ; y ‘ ( 5 ) = – 1/4
Phương trình đường thẳng d chính là phương trình tiếp tuyến tại điểm A ( 5 ; 0 ) có dạng
y = – 1/4 ( x – 5 ) = – 1/4 x + 5 / 4

Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = 3x – 4×2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3).

Hiển thị đáp án
Ta có y ‘ = 3 – 8 x
Gọi M ( x0, y0 ) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M có dạng :
y = ( 3 – 8×0 ) ( x – x0 ) + 3×0 – 4×02
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A ( 1 ; 3 ) nên ta có :
3 = ( 3 – 8×0 ) ( 1 – x0 ) + 3×0 – 4×02

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với x0 = 0 thì Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 ( x – 0 ) + 0 = 3 x

Với x0 = 2 thì Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 13 ( x – 2 ) – 10 = – 13 x + 16

Câu 5: Cho hàm số y = x3 – 3×2 + 6x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Hiển thị đáp án
Gọi M ( x0, y0 ) là tọa độ tiếp điểm .
Ta có y ‘ = 3×2 – 6 x + 6
Khi đó y ‘ ( x0 ) = 3×02 – 6×0 + 6 = 3 ( x02 – 2×0 + 2 ) = 3 [ ( x0 – 1 ) 2 + 1 ] ≥ 3
Vậy thông số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y ‘ ( x0 ) = 3, dấu bằng xảy ra khi x0 = 1

Với x0 = 1 thì Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 ( x – 1 ) + 5 = 3 x + 2

Câu 6: Cho hàm số (C):y = x3 – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.

Hiển thị đáp án
Gọi M ( x0, y0 ) là tọa độ tiếp điểm .
Ta có y ‘ = 3×2 – 3

Khi đó y'(x0 ) = 3×02 – 3 = 9 Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với x0 = 2 thì Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 ( x – 2 ) + 4 = 9 x – 14

Với x0 = -2 thì Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 ( x + 2 ) + 0 = 9 x + 18

Câu 7: Cho hàm số y = (-x + 5)/(x + 2) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:y = -1/7 x + 5/7

Hiển thị đáp án
ĐKXĐ : x ≠ – 2. Ta có y ‘ = ( – 7 ) / ( x + 2 ) 2 .
Gọi tọa độ tiếp điểm là M ( x0, y0 )
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình d : y = – 1/7 x + 5/7 nên ta có

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 1/7 ( x – 5 ) + 0 = – 1/7 x + 5/7 ( loại ) .

Với x0 = -9 Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 1/7 ( x + 9 ) – 2 = – 1/7 x – 23/7 ( thỏa mãn nhu cầu ) .

Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x4 – 2×2 + 3 vuông góc với đường thẳng Δ: x – 8y + 2017 = 0

Hiển thị đáp án
Ta có y ‘ = – 4×3 – 4 x .
Gọi tọa độ tiếp điểm là M ( x0, y0 )
Phương trình Δ : x – 8 y + 2017 = 0 hay Δ : y = 1/8 x + 2017 / 8
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình d : y = 1/8 x + 2017 / 8 nên ta có
y ‘ ( x0 ) = – 8 hay – 4×03 – 4×0 = – 8 ⇔ x0 = 1

Với Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 8 ( x – 1 ) + 0 = – 8 x + 8 ( thỏa mãn nhu cầu ) .

Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x3 + 1/2 x2 – 2x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + 3y – 1 = 0 một góc 450.

Hiển thị đáp án
Gọi tọa độ tiếp điểm là M ( x0, y0 ) .
Có y ‘ = x2 + x – 2
Phương trình đường thẳng d : x + 3 y – 1 = 0 ⇔ y = – 1/3 x + 1/3
Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + 3 y – 1 = 0 một góc 450 nên ta có

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

x0 = 0 ⇒ y ( x0 ) = 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y = – 2 ( x – 0 ) + 1 = – 2 x + 1
x0 = – 1 ⇒ y ( x0 ) = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y = – 2 ( x + 1 ) + 19/6 = – 2 x + 7/6

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải;

y = – 2 x + 1 ; y = – 2 x + 7/6

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Xem thêm: Công Thức Tính Thể Tích Khối Cầu Nhanh Và Chính Xác Nhất – VUIHOC

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

tiep-tuyen.jsp

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập

Bình luận