Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(alpha ):ax + by + cz + d = 0$ và $(beta ):ax + by + cz + D = 0$ $(d ne D).$ ta dùng công thức tính dưới đây.
Công thức: $d((alpha );(beta ))$ $ = d(A;(beta ))$ $ = frac{{|d – D|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ với $A in (alpha ).$
Bài tập áp dụng:
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(P):x + y + 3z + 1 = 0$ và $(Q):x + y + 3z + 5 = 0.$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$
A. $d = frac{{2sqrt {11} }}{{11}}.$
Bạn đang đọc: Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian – Trường Quốc Học
B. USD d = frac { { 4 sqrt { 11 } } } { { 11 } }. $C. USD d = 2 sqrt { 11 }. $D. USD d = 11. $
Lời giải:
Chọn $M( – 1;0;0) in (P)$ $ Rightarrow d = d((P);(Q))$ $ = frac{{| – 1 + 5|}}{{sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }}$ $ = frac{{4sqrt {11} }}{{11}}.$
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Có thể sử dụng kết quả ở mục A – dạng 2 để chọn nhanh đáp án.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $(S)$ là mặt cầu bất kì tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z + 7 = 0.$ Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S).$
A. USD R = 6. $B. USD R = 2. $C. USD R = 1. $D. USD R = 3. $Lời giải :Do USD ( P ) / / ( Q. ) $ $ Rightarrow R = frac { 1 } { 2 } d ( ( P ) ; ( Q. ) ) $ $ = frac { 1 } { 2 }. frac { { | 1 – 7 | } } { { sqrt { { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = 1. $Chọn đáp án C .Nhận xét : Mọi mặt cầu USD ( S ) USD tiếp xúc đồng thời với mặt phẳng song song USD ( P ) USD, USD ( Q. ) USD đều có nửa đường kính $ R $ bằng nhau và $ R = frac { 1 } { 2 } d ( ( P ) ; ( Q. ) ). $
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(alpha ):2x + y + 2z + 1 = 0$ và $(beta ):2x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính tổng khoảng cách $d$ từ gốc tọa độ $O$ đến hai mặt phẳng $(alpha )$ và $(beta ).$
A. $ d = frac { 2 } { 3 }. $B. USD d = frac { 4 } { 3 }. $C. USD d = 2. $D. USD d = frac { 1 } { 3 }. $Lời giải :Ta có : USD d ( O ; ( alpha ) ) = frac { { | 1 | } } { { sqrt { { 2 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = frac { 1 } { 3 } $ và USD d ( O ; ( beta ) ) = frac { { | 3 | } } { { sqrt { { 2 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = 1 USD suy ra :USD d = { d_1 } + { d_2 } = frac { 4 } { 3 }. $Chọn đáp án B .
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 2 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z + 2m – 1 = 0$ bằng $1.$
A. $ { 3 }. $B. $ { 3, – 3 }. $C. $ { 0,3 }. $D. USD { 0, – 3 }. $Lời giải :Chọn USD M ( – 2 ; 0 ; 0 ) in ( P ) $ $ Rightarrow d ( ( P ) ; ( Q. ) ) $ $ = d ( M ; ( Q. ) ) $ $ = frac { { | 2 m – 3 | } } { 3 }. $Theo giả thiết : $ frac { | 2 m-3 | } { 3 } = 1 Leftrightarrow | 2 m-3 | = 3 Leftrightarrow left [ begin { array } { l } 2 m-3 = 3 2 m-3 = – 3 end { array } Leftrightarrow left [ begin { array } { l } m = 3 m = 0 end { array } right. right. $Chọn đáp án C .
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$ và $B(2;1;-1).$ Gọi $vec n = (1;a;b)$, $(a;b in R)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất. Tính $a + b.$
A. USD 2. $B. USD 3. $C. USD – 2. $D. USD – 3. $Lời giải :
Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ B $ trên mặt phẳng USD ( P ) USD, ta có :USD d ( B ; ( P ) ) = BH le AB $ $ Rightarrow d { ( B ; ( P ) ) _ { max } } = AB. $Vậy USD ( P ) USD là mặt phẳng qua $ A $ và có một vectơ pháp tuyến là $ overrightarrow { AB } = ( 1 ; 0 ; – 2 ). $Suy ra USD a = 0 $ và $ b = – 2 $ $ Rightarrow a + b = – 2. $
Chọn đáp án C.
Xem thêm: Công Thức Tính Thể Tích Khối Cầu Nhanh Và Chính Xác Nhất – VUIHOC
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$?
A. USD 0. $B. USD 1. $C. USD 2. $D. Vô số .Lời giải :Kiểm tra được : $ [ overrightarrow { AB }, overrightarrow { AC } ]. overrightarrow { AD } = – 4 ne 0 $ $ Rightarrow A $, USD B USD, USD C USD, USD D $ không đồng phẳng .Vậy sống sót hai mặt phẳng chứa USD B USD, $ C $ và cách đều hai điểm $ A $, USD D $ là :+ Trường hợp 1 : Mặt phẳng chứa USD B USD, $ C $ và song song với đường thẳng $ AD. $
+ Trường hợp 2 : Mặt phẳng chứa USD B USD, $ C $ và đi qua trung điểm USD I $ của đoạn thẳng $ AD. $
Chọn đáp án C .
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Biết rằng qua $B$, $C$ có hai mặt phẳng cách đều $A$, $D.$ Tính tổng khoảng cách từ $O$ đến hai mặt phẳng đó.
A. $ frac { { 9 sqrt { 10 } + 5 sqrt 6 } } { 5 }. $B. $ frac { { 3 sqrt { 10 } + 5 sqrt 6 } } { { 15 } }. $C. $ frac { { 9 sqrt { 10 } + 5 sqrt 6 } } { { 15 } }. $D. $ frac { { 9 sqrt { 10 } + 7 sqrt 6 } } { { 15 } }. $Lời giải :Kiểm tra được : $ [ overrightarrow { AB }, overrightarrow { AC } ]. overrightarrow { AD } ne 0 $ $ Rightarrow A $, USD B USD, USD C USD, USD D $ không đồng phẳng. Vậy sống sót hai mặt phẳng chứa USD B USD, $ C $ và cách đều hai điểm $ A $, USD D $ là :+ Trường hợp 1 : Mặt phẳng chứa USD B USD, $ C $ và song song với đường thẳng $ AD. $
Mặt phẳng USD ( P ) USD qua USD C ( 0 ; 2 ; 0 ) USD và có một vectơ pháp tuyến là $ { vec n_p } = [ overrightarrow { BC }, overrightarrow { AD } ] = ( – 2 ; 2 ; – 4 ) USD, có phương trình :USD ( P ) : – 2 ( x – 0 ) + 2 ( y – 2 ) – 4 ( z – 0 ) = 0 $ $ Leftrightarrow x – y + 2 z + 2 = 0. $+ Trường hợp 2 : Mặt phẳng chứa USD B USD, $ C $ và đi qua trung điểm USD I $ của đoạn thẳng $ AD. $
Trung điểm USD I $ của $ AD $ là USD I ( 0 ; 2 ; 1 ). $ Mặt phẳng USD ( Q. ) USD qua USD C ( 0 ; 2 ; 0 ) USD và có một vectơ pháp tuyến là $ { vec n_Q } = [ overrightarrow { BC }, overrightarrow { IB } ] = ( – 1 ; – 3 ; 0 ) USD, có phương trình :USD ( Q. ) : – 1 ( x – 0 ) – 3 ( y – 2 ) – 0 ( z – 0 ) = 0 $ $ Leftrightarrow – x – 3 y + 6 = 0. $Vậy USD d ( O ; ( P ) ) + d ( O ; ( Q. ) ) $ $ = frac { { 9 sqrt { 10 } + 5 sqrt 6 } } { { 15 } }. $Chọn đáp án B .
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Gọi $vec n(1;b;0)$, $(b in R)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua $B$, $C$ và cách đều $A$, $D.$ Tính ${b^2}.$
A. USD 16. $B. USD 1. $C. USD 4. USDD. USD 9. $Lời giải :Kiểm tra được : $ | overrightarrow { A B }, overrightarrow { A C } ]. overrightarrow { A D } = – 4 neq 0 Rightarrow A, B, C, D $ không đồng phẳng. Vậy sống sót hai mặt phẳng chứa USD B USD, $ C $ và cách đều hai điểm $ A $, USD D $ là :+ Trường hợp 1 : Mặt phẳng chứa USD B USD, $ C $ và song song với đường thẳng $ AD. $Mặt phẳng USD ( P ) USD qua USD C ( 0 ; 2 ; 0 ) USD và có một vectơ pháp tuyến là $ { vec n_P } = [ overrightarrow { BC }, overrightarrow { AD } ] = ( – 2 ; 2 ; – 4 ). $+ Trường hợp 2 : Mặt phẳng chứa USD B USD, $ C $ và đi qua trung điểm USD I $ của đoạn thẳng $ AD. $Trung điểm USD I $ của $ AD $ là USD I ( 0 ; 2 ; 1 ). $Mặt phẳng USD ( Q. ) USD qua USD C ( 0 ; 2 ; 0 ) USD và có một vectơ pháp tuyến là $ { vec n_Q } = [ overrightarrow { BC }, overrightarrow { IB } ] = ( – 1 ; – 3 ; 0 ). $
Theo giả thiết $vec n(1;b;0)$ $ = {vec n_Q} = ( – 1; – 3;0)$ $ Rightarrow b = 3.$
Xem thêm: Phân biệt 8 biện pháp tu từ đã học và cách ghi nhớ
Vậy $ { b ^ 2 } = 9. $Chọn đáp án D .Tin tức – Tags: hình học không gian, khoảng cách, mặt phẳng, song song
Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập