Cách Lập Bảng Biến Thiên Lớp 12, Cách Lập Bảng Biến Thiên Hàm Số

Khảo sát hàm số gồm mấy bước? Làm sao để khảo sát một hàm số cho trước như hàm số bậc 3, hàm trùng phương, hay hàm số hữu tỉ.

Bạn đang xem: Cách lập bảng biến thiên lớp 12

Sau khi đọc xong bài viết này, bạn chắc chắn sẽ hiểu rõ làm thế nào để có thể khảo sát hàm số bậc 3, hàm bậc 4 (trùng phương), hàm hữu tỉ hay một hàm số bất kỳ.

I. Một số kiến thức cần nhớ về Hàm số

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

_ Hàm f ( x ) đồng biến trên ( a, b ) ⇔ f ” ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ ( a, b )_ Hàm f ( x ) nghịch biến trên ( a, b ) ⇔ f ” ( x ) ≤ 0 ∀ x ∈ ( a, b )

2. Cực đại và cực tiểu của hàm số.

* Qui tắc 1:

+ Tìm tập xác lập D .+ Tính f ’ ( x ). Tìm các điểm xi Î D ( i = 1,2, … ) tại đó đạo hàm f ’ ( x ) = 0 hoặc f ’ ( x ) không xác lập .+ Lập bảng xét dấu của f ’ ( x )+ Kết luận : Nếu f ’ ( x ) đổi dấu từ ( + ) sang ( – ) khi x qua x0 thì x0 là điểm cực lớn và ngược lại thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số

* Qui tắc 2:

+ Tìm tập xác lập D .+ Tìm f ’ ( x ). Giải phương trình f ’ ( x ) = 0, tìm các nghiệm xi ( i = 1,2, … ) .+ Tim f ’ ’ ( x ) và tính f ’ ’ ( xi ) .+ Kết luận :- Nếu f ’ ’ ( xi ) i là điểm cực lớn- Nếu f ’ ’ ( xi ) > 0 thì xi là điểm cực tiểu .

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

a) Tìm GTLN và GTNN trên :

+ Bước 1: Tìm các điểm x1,x2,…xn tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định trên .

+ Bước 2: Tính f(a), f(x1),f(x2),…f(xn), f(b).

+ Bước 3: GTLN là số lớn nhất M và GTNN là số nhỏ nhất m trong các số trên.

b) Tìm GTLN và GTNN trên (a; b), : Ta cần lập bảng biến thiên

4. Tiệm cận của đồ thị hàm số:

5. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan.

* Các bước khảo sát hàm số:

– Bước 1: Tìm tập xác định D

– Bước 2: Sự biến thiên.

+ Tính y ’. y ” = 0 ; xét dấu y ’ tìm khoảng chừng tăng, giảm .+ Kết luận cực trị .+ Tính số lượng giới hạn, tiệm cận ( nếu có ) .+ Lập bảng biến thiên

– Bước 3: Tìm 1 vài điểm của hàm số và vẽ đồ thị

II. Áp dụng khảo sát hàm số vô tỉ, hữu tỉ

* Áp dụng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3: y=x3+3×2−4

Bước 1: Tập xác định: D = R

Bước 2: Sự biến thiên

– Có : y ′ = 3×2 + 6 x ; cho y ’ = 0 y ′ = 3×2 + 6 x = 0 x = 0 hoặc x = − 2Hàm số nghịch biến trong khoảng chừng ( – 2 ; 0 )Hàm số đồng biến trong khoảng chừng ( – ∞ ; – 2 ) và ( 0 ; + ∞ )– Cực trị :Hàm số đạt cực lớn tại x = – 2 ; yCD = y ( – 2 ) = 0Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = y ( 0 ) = – 4- Giới hạn của hàm số tại vô cực :– Lập bảng biến thiên

Bước 3: Tìm 1 số điểm để vẽ đồ thị

– Giao của đồ thị với trục Ox : y = 0 x3 + 3×2 – 4 = 0 ( x-1 ) ( x + 2 ) 2 = 0 x = 1 hoặc x = – 2

* Lưu ý: hàm số bậc 3 trong các bài toán khảo sát thường có nghiệm đặc biệt x=1,-1,0,… sau đó chia đa thức để đưa về dạng tích các đa thức như trên.

Xem thêm: 1000 Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Trắc Nghiệm, Trắc Nghiệm Môn Toán Tất Cả Các Lớp (Có Đáp Án)

Vậy ( 1,0 ) và ( – 2,0 ) là giao điểm của đồ thị với trục Ox- Giao của đồ thị với trục Oy : x = 0 y = – 4. Vậy ( 0, – 4 ) là giao của đồ thị với OyTa có bảng giá trị :

x	-2	-1	0	1
y	0	-2	-4	0

– Tìm điểm uốn y ” ” = 6 x + 6 = 0 x = – 1 thay vào hàm số được y = – 2 ;Vậy điểm uốn là U ( – 1, – 2 )Đồ thị ( C )

 

– Áp dụng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4: y=x4-2×2−3

Bước 1: Tập xác định D = R

Bước 2: Sự biến thiên

y’ = 4×3 – 4xy’ = 0 4×3 – 4x = 0 x(4×2 – 4) = 0  x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = – 1

Hàm số nghịch biến trong khoảng chừng ( – ∞ ; – 1 ) và ( 0 ; 1 )Hàm số đồng biến trong khoảng chừng ( – 1 ; 0 ) và ( 1 ; + ∞ )– Cực trị :Hàm số đạt cực lớn tại x = 0 ; yCD = y ( 0 ) = – 3Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1 ; yCT = y ( – 1 ) = – 4Giới hạn :Lập bảng biến thiên :

Bước 3: Tìm 1 số điểm để vẽ đồ thị

Đồ thị hàm số:

Giao điểm với Ox : x = √ 3 ; y = 0 ; x = – √ 3 ; y = 0Giao điểm với Oy : x = 0 ; y = – 3Bảng giá trị :

x	-√3	0	√3
y	0	-3	0

– Tìm điểm uốn y ” ” = 12×2 – 4 = 0 x = – 1 / √ 3 hoặc x = 1 / √ 3 ;Vậy điểm uốn là U1 ( – 1 / √ 3, – 32/9 ) và U1 ( 1 / √ 3, – 32/9 )Đồ thị :

– Áp dụng khảo sát hàm hữu tỉ bậc nhất: y=(ax+b)/(cd+d)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y=2x−1x−1″>y=(2x−1)/(x−1)

y=2x−1x−1″>Bước 1: Hàm số có tập xác định là R∖{1}”>R∖{1}

y=2x−1x−1″>Bước 2: Sự biến thiên của hàm số 

y ’ = – 1 / ( x-1 ) 2Hàm số nghịch biến trong khoảng chừng ( – 2 ; – ∞ ) và ( + ∞ ; 2 )Giới hạn : số lượng giới hạn vô cực và các tiệm cận ta có=> x = 1 là tiệm cận đứng=> y = 2 là tiệm cận ngangLập bảng biến thiên :

Bước 3: Tìm 1 số điểm để vẽ đồ thì hàm số

Giao Ox : y = 0 thì x = – 50%Giao Oy : x = 0 thì y = 2Đồ thị :

– Áp dụng khảo sát hàm hữu tỉ bậc 2 trên bậc 1: y=(ax2 + bx + c)/(a”x + b”) (với a, a” khác 0)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y=2x−1x−1″>y=(x2 − 2x − 3)/(x−2)

y = 2 x − 1 x − 1 ” > Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng : y = x – 3 / ( x-2 )

y=2x−1x−1″>Bước 1: Tập xác định của hàm số: x ≠ 2 hay R∖{2}

y=2x−1x−1″>Bước 2: y=2x−1x−1″> Sự biến thiên của hàm số 

y ’ = 1 + 3 / ( x-2 ) 2 > 0 với mọi x ≠ 2Hàm số đồng biến trong khoảng chừng ( – ∞ ; 2 ) và ( 2 ; + ∞ )Giới hạn : số lượng giới hạn vô cực và các tiệm cận ta có=> x = 2 là tiệm cận đứng=> y = x là tiệm cận xiênLập bảng biến thiên :

Bước 3: Tìm 1 số điểm để vẽ đồ thị

Giao Ox : y = 1 thì x = – 1 hoặc x = 3

Giao Oy: x=0 thì y = 3/2

Đồ thị :

Hy vọng với phần ôn tập chi tiết về Ứng dụng Đạo hàm để khảo sát hàm số ở trên các em đã hiểu rõ để vận dụng vào bài tập. Các em có thể Đăng nhập vào trang Hay học hỏi (nếu chưa có tài khoản hãy Đăng Ký) để làm kiểm tra trắc nghiệm thử về các vấn đề liên quan tới hàm số TẠI ĐÂY.

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập