Bộ công thức về lũy thừa chính xác nhất và bài tập ứng dụng liên quan

Bộ công thức về lũy thừa chính xác nhất và bài tập ứng dụng liên quan

Lũy thừa là gì? Khái niệm lũy thừa cúng như các dạng bài toán liên quan là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Đại số của các em học sinh trung học phổ thông. Cùng chúng tôi tìm hiểu cụ thể về lũy thừa qua bài viết dưới đây nhé!

I. Định nghĩa

1. Lũy thừa bậc n của a là gì?

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và n, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là ({displaystyle a^{n}}), đọc là lũy thừa bậc n của a hay a mũ n, số a gọi là cơ số, số n gọi là số mũ.

Tập xác lập của hàm số lũy thừa : Hàm số lũy thừa là những hàm số dạng ( y = x ^ α ( α ∈ R ) ). Các hàm số lũy thừa có tập xác lập khác nhau, tùy theo α :

• Nếu α nguyên dương thì tập các định là R.
• Nếu α nguyên âm hoặc α=0 thì tập các định là R{0}.
• Nếu α không nguyên thì tập các định là  ( ( 0 ; + ∞ ) )

2. Tính chất cơ bản của lũy thừa

• ( a ^ n = a { displaystyle times } a { displaystyle times } a { displaystyle times } … { displaystyle times } a ) n chữ số a
• ( { displaystyle a ^ { – n } = { frac { 1 } { a ^ { n } } } = { frac { 1 } { a times a times a times … a } } } )
• ( 0 ^ n = 0 ( n > 0 ) )
• ( 1 ^ n = 1 )
• ( a ^ 0 = 1 )
• ( a ^ 1 = a )
• ( { displaystyle a ^ { – 1 } = { frac { 1 } { a } } } )

3. Tính chất thường gặp

• ( a ^ { m + n } = a ^ m { displaystyle times } a ^ n )
• ( { displaystyle a ^ { m-n } = { frac { a ^ { m } } { a ^ { n } } } } ) với mọi a ≠ 0
• ( { displaystyle a ^ { m cdot n } = ( a ^ { m } ) ^ { n } } )
• ( { displaystyle a ^ { m ^ { n } } = a ^ { ( m ^ { n } ) } } )
• ( { displaystyle ( a times b ) ^ { n } = a ^ { n } times b ^ { n } } )
• ( { displaystyle ( { frac { a } { b } } ) ^ { n } = { frac { a ^ { n } } { b ^ { n } } } } )
• ( { displaystyle a ^ { m / n } = left ( a ^ { m } right ) ^ { 1 / n } = { sqrt [ { n } ] { a ^ { m } } } } )
• ( { displaystyle a ^ { x } = e ^ { x cdot ln a } , } )
• ( { displaystyle e ^ { ix } = cos x + i cdot sin x } )

Hot: Logarit đầy đủ và chi tiết nhất

II. Công thức lũy thừa

1. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ tự nhiên

• Lũy thừa của 0 và 1

( { displaystyle 0 ^ { n } = 0 , } ). ( n > 0 ) ( { displaystyle 1 ^ { n } = 1 , } ).

• Lũy thừa với số mũ dương

Trong trường hợp b = n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

( { displaystyle a ^ { n } = underbrace { a times a cdots times a } _ { n } } ) Các đặc thù quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là ( { displaystyle a ^ { m + n } = a ^ { m } times a ^ { n } } )

({displaystyle a^{m-n}={frac {a^{m}}{a^{n}}}}) với mọi a ≠ 0

( { displaystyle ( a ^ { m } ) ^ { n } = a ^ { mn } } ) ( { displaystyle a ^ { m ^ { n } } = a ^ { ( m ^ { n } ) } } ) ( { displaystyle ( a times b ) ^ { n } = a ^ { n } times b ^ { n } } ) ( { displaystyle ( { frac { a } { b } } ) ^ { n } = { frac { a ^ { n } } { b ^ { n } } } } )

• Lũy thừa với số mũ 0

Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1 : ( { displaystyle a ^ { 0 } = 1 } ) Chứng minh : ( { displaystyle 1 = { frac { a ^ { n } } { a ^ { n } } } = a ^ { n-n } = a ^ { 0 } } )

2. Chuyên đề về lũy thừa của một số hữu tỉ

• Căn bậc n của một số thực dương

Một căn bậc n của số a là 1 số ít x sao cho ( x ^ n = a ). Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương thì có đúng 1 số ít thực dương x sao cho xn = a. Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là ( sqrt [ n ] a ), trong đó ( sqrt { } ) là ký hiệu căn.

• Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m / n ( m, n là số nguyên, trong đó n dương ), của số thực dương a được định nghĩa là ( { displaystyle a ^ { dfrac { m } { n } } = left ( a ^ { m } right ) ^ { dfrac { 1 } { n } } = { sqrt [ { n } ] { a ^ { m } } } } ) định nghĩa này hoàn toàn có thể lan rộng ra cho những số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.

3. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ thực

• Cách tính lũy thừa của số e

Số e là hằng số toán học quan trọng, xê dịch 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua số lượng giới hạn sau : ( { displaystyle e = lim _ { n rightarrow infty } left ( 1 + { frac { 1 } { n } } right ) ^ { n }. } ) Hàm e mũ, được định nghĩa bởi ( { displaystyle e ^ { x } = lim _ { n rightarrow infty } left ( 1 + { frac { x } { n } } right ) ^ { n }, } ) ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn nhu cầu đẳng thức cơ bản của lũy thừa ( { displaystyle e ^ { x + y } = e ^ { x } cdot e ^ { y }. } ) Hàm e mũ xác lập với toàn bộ những giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x. Có thể chứng tỏ ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là ( e ^ k ) như sau : ( { displaystyle ( e ) ^ { k } = left ( lim _ { n rightarrow infty } left ( 1 + { frac { 1 } { n } } right ) ^ { n } right ) ^ { k } = lim _ { n rightarrow infty } left ( left ( 1 + { frac { 1 } { n } } right ) ^ { n } right ) ^ { k } = lim _ { n rightarrow infty } left ( 1 + { frac { k } { n cdot k } } right ) ^ { n cdot k } } ) ( { displaystyle = lim _ { n cdot k rightarrow infty } left ( 1 + { frac { k } { n cdot k } } right ) ^ { n cdot k } = lim _ { m rightarrow infty } left ( 1 + { frac { k } { m } } right ) ^ { m } = e ^ { k }. } ) Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng ( e ^ { x + y } ) thỏa mãn nhu cầu đẳng thức lũy thừa khi x và y là những số nguyên dương. Kết quả này cũng hoàn toàn có thể lan rộng ra cho toàn bộ những số không phải là số nguyên dương.

• Hàm lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng số lượng giới hạn của những số hữu tỷ. Logarit tự nhiên ( { displaystyle ln { ( x ) } } ) là hàm ngược của hàm e-mũ ( e ^ x ). Theo đó ( { displaystyle ln x } ) là số b sao cho ( x = e ^ b ). Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kể ta có a = e ln a nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có : ( { displaystyle a ^ { x } = ( e ^ { ln a } ) ^ { x } = e ^ { x cdot ln a }. , } ) Điều này dẫn tới định nghĩa : ( { displaystyle a ^ { x } = e ^ { x cdot ln a } , } ) với mọi số thực x và số thực dương a.

Xem ngay: 

IV. Bài tập tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Tìm tập xác lập của những hàm số sau : a ) ( y = sqrt { 5 x – 2 x ^ 2-2 } + ln dfrac { 1 } { x ^ 2-1 } )

Điều kiện: (left{begin{array}{cc}-2x^2+5x-1ge0x^2-1>0end{array}right. Leftrightarrow left{begin{array}{cc}dfrac{1}{2}le x le 2x1end{array}right. Leftrightarrow 1 b ) ( y = sqrt { x ^ 2-4 x + 3 } log_2 ( 25-4 x ^ 2 ) )

Điều kiện: (left{begin{array}{cc}0

Xem thêm: Công Thức Tính Bán Kính, Diện Tích Mặt Cầu Ngoại Tiếp Hình Chóp Và Bài Tập