Bài tập về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Rate this post

Tailieumoi. vn xin ra mắt đến những quý thầy cô, những em học viên đang trong quy trình ôn tập tài liệu Bài tập về đường tiệm cận của đồ thị hàm số, tài liệu gồm có 55 trang. Tài liệu được tổng hợp từ những tài liệu ôn thi hay nhất giúp những em học viên có thêm tài liệu tìm hiểu thêm trong quy trình ôn tập, củng cố kỹ năng và kiến thức và sẵn sàng chuẩn bị cho bài thi sắp tới. Chúc những em học viên ôn tập thật hiệu suất cao và đạt được hiệu quả như mong đợi .
Mời những quý thầy cô và những em học viên cùng tìm hiểu thêm và tải về cụ thể tài liệu dưới đây

Bài tập về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

BÀI 4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bạn đang đọc: Bài tập về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

A. Lí thuyết

I. Đường tiệm cận đứng.

1. Định nghĩa :
Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( hay tiệm cận đứng ) của đồ thị hàm số [ y = f ( x ) ] nếu tối thiểu một trong những điều kiện kèm theo sau được thỏa mãn nhu cầu :
[ mathop { lim } limits_ { x to x_0 ^ + } f ( x ) = + infty, mathop { lim } limits_ { x to x_0 ^ – } f ( x ) = – infty ] [ mathop { lim } limits_ { x to x_0 ^ + } f ( x ) = – infty, mathop { lim } limits_ { x to x_0 ^ – } f ( x ) = + infty ] Nhận xét :
Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, ta cần tính số lượng giới hạn một bên của x0, với x0 thường là điều kiện kèm theo biên của hàm số ( hay tại x thì hàm số không xác lập ) .
Kỹ năng sử dụng máy tính ( tìm hiểu thêm ) :
Tính [ mathop { lim } limits_ { x to x_0 ^ + } f ( x ) ] thì nhập [ f ( x ) ] và CALC x = x0 + 10-9 .
Tính [ mathop { lim } limits_ { x to x_0 ^ – } f ( x ) ] thì nhập [ f ( x ) ] và CALC x = x0 – 10-9 .

1-1656828819-9335773

II. Đường tiệm cận ngang.

1. Định nghĩa :
Cho hàm số [ y = f ( x ) ] xác lập trên một khoảng chừng vô hạn ( là khoảng chừng ( a ; + ¥ ), ( – ¥ ; b ) …
Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang ( hay tiệm cận ngang ) của đồ thị hàm số [ y = f ( x ) ] nếu tối thiểu một trong những điều kiện kèm theo sau được thỏa mãn nhu cầu :
[ mathop { lim } limits_ { x to + infty } f ( x ) = { y_0 }, mathop { lim } limits_ { x to – infty } f ( x ) = { y_0 } ] 2. Nhận xét :
Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta cần tính số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực .
Tìm số lượng giới hạn ở vô cực của hàm [ y = frac { { P ( x ) } } { { Q ( x ) } } ; ] với [ P ( x ), Q. ( x ) ] là những đa thức không căn :
Bậc của P ( x ) nhỏ hơn bậc của Q. ( x )
Þ [ mathop { lim } limits_ { x to pm infty } y = 0 ] Þ Tiệm cận ngang Ox : y = 0 .
Bậc của P ( x ) bằng bậc của Q. ( x )
Þ [ mathop { lim } limits_ { x to pm infty } y = frac { { HesoxbaccaocuaP ( x ) } } { { HesoxbaccaocuaQ ( x ) } } = alpha ] Suy ra tiệm cận ngang y = a .
Bậc của P ( x ) lớn hơn bậc của Q. ( x )
Þ [ mathop { lim } limits_ { x to pm infty } y = pm infty ] Þ Không có tiệm cận ngang .
Kỹ năng sử dụng máy tính ( tìm hiểu thêm ) :
Tính [ mathop { lim } limits_ { x to + infty } f ( x ) ] thì nhập [ f ( x ) ] và CALC x = 1010 .
Tính [ mathop { lim } limits_ { x to – infty } f ( x ) ] thì nhập [ f ( x ) ] và CALC x = – 1010 .
3. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm tiệm cận của hàm số :
1 ). [ y = frac { { 2 x + 1 } } { { x + 1 } } ] .
2 ). [ y = frac { { 2 – 4 x } } { { 1 – x } } ] .
3 ). [ y = 2 x + 1 – frac { 1 } { { x + 2 } } ] .
4 ). [ y = frac { { { x ^ 2 } } } { { 1 – x } } ] .

III. Đường tiệm cận xiên

1. Định nghĩa :
Đường thẳng y = ax + b, a ¹ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số [ y = f ( x ) ] nếu tối thiểu một trong những điều kiện kèm theo sau được thỏa mãn nhu cầu :
[ mathop { lim } limits_ { x to + infty } f ( x ) = left [ { f ( x ) – ( ax + b ) } right ] = 0 ] hoặc [ mathop { lim } limits_ { x to – infty } f ( x ) = left [ { f ( x ) – ( ax + b ) } right ] = 0 ] Trong đó
[ a = mathop { lim } limits_ { x to + infty } frac { { f ( x ) } } { x }, b = mathop { lim } limits_ { x to + infty } left [ { f ( x ) – ax } right ] ] hoặc [ a = mathop { lim } limits_ { x to – infty } frac { { f ( x ) } } { x }, b = mathop { lim } limits_ { x to – infty } left [ { f ( x ) – ax } right ] ] 2. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 2. Tìm tiệm cận của hàm số : [ y = frac { { sqrt { { x ^ 2 } + 1 } } } { x } ]

B. Phân dạng và bài tập minh họa.

Dạng 1. Tìm những đường tiệm cận của đồ thị hàm số .
1. Phương pháp .

a) Tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Xem thêm: Công Thức Tính Thể Tích Khối Cầu Nhanh Và Chính Xác Nhất – VUIHOC

Đối với hàm phân thức : [ f ( x ) = frac { { P ( x ) } } { { Q ( x ) } } ] trong đó [ P ( x ), Q. ( x ) ] là hai đa thức của x ta thường dùng chiêu thức sau để tìm những đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Tiệm cận đứng .
Nếu [ left { { begin { array } { * { 20 } { c } } { P ( { x_0 } ) ne 0 } { Q ( { x_0 } ) = 0 } end { array } } right. ] thì đường thẳng : x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Tiệm cận ngang
Nếu bậc của P ( x ) bé hơn bậc của Q. ( x ) thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục hoành độ
Nếu bậc của P ( x ) bằng bậc của Q. ( x ) thì đồ thị hàm có tiệm cận ngang là đường thẳng [ y = frac { A } { B } ] trong đó A, B lần lượt là thông số của số hạng có số mũ lớn nhất của P ( x ) và Q. ( x ) .
Nếu bậc của P ( x ) lớn hơn bậc của Q. ( x ) thì đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang
b ) Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .
Nếu bậc của P ( x ) bé hơn hay bằng bậc của Q. ( x ) hoặc lớn hơn bậc của Q. ( x ) từ hai bậc trở lên thì đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên
Nếu bậc của P ( x ) lớn hơn bậc của Q. ( x ) một bậc và P ( x ) không chia hết cho P ( x ) thì đồ thị hàm có tiệm cận xiên và ta tìm tiệm cận xiên bằng cách chia P ( x ) cho Q. ( x ) và viết [ f ( x ) = ax + b + frac { { R ( x ) } } { { Q ( x ) } } ], trong đó [ mathop { lim } limits_ { x to + infty } frac { { R ( x ) } } { { Q ( x ) } } = 0 ], [ mathop { lim } limits_ { x to – infty } frac { { R ( x ) } } { { Q ( x ) } } = 0 ] .
Suy ra đường thẳng : y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .
Chú ý :
Xét hàm số [ y = sqrt { a { x ^ 2 } + bx + c } ] ( a ¹ 0 ) .
Nếu a 0 đồ thị hàm số có tiệm cận xiên [ y = sqrt a left ( { x + frac { b } { { 2 a } } } right ) ] khi x ® + ¥ và [ y = – sqrt a left ( { x + frac { b } { { 2 a } } } right ) ] khi x ® – ¥ .
Đồ thị hàm số [ y = mx + n + p sqrt { a { x ^ 2 } + bx + c } ] ( a > 0 ) có tiệm cận là đường thẳng :
[ y = mx + n + p sqrt a left | { x + frac { b } { { 2 a } } } right | ] .
2. Bài tập minh họa .
Bài tập 1. Tìm tiệm cận của hàm số :
1 ) [ y = sqrt { { x ^ 2 } – 2 x + 2 } ] 2 ) [ y = x + sqrt { { x ^ 2 } – 1 } ] 3. Câu hỏi trắc nghiệm. Mức độ 1. Thông Hiểu Câu 1. Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 3 3 2 – = – x y x .
A. 1 3 x = .
B. 2 3 x = .
C. 2 3 y = .
D. 1 3 y = .
Câu 2. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số [ y = frac { 5 } { { x – 1 } } ] là đường thẳng có phương trình ?
A. y = 5 .
B. x = 0 .
C. x = 1 .
D. y = 0 .
Câu 3. Cho hàm số [ y = frac { { 2 x – 1 } } { { x + 2 } } ] có đồ thị ( C ). Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị ( C ) .
A. I ( – 2 ; 2 ) .
B. I ( 2 ; 2 ) .
C. I ( 2 ; – 2 ) .
D. I ( – 2 ; – 2 ) .
Câu 4. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số [ y = frac { { { x ^ 3 } – 3 x – 2 } } { { { x ^ 2 } + 3 x + 2 } } ] là đường thẳng :
A. x = – 2 .
B. Không có tiệm cận đứng .
C. x = – 1 ; x = – 2 .
D. x = – 1
Câu 5. Đồ thị của hàm số nào trong những hàm số dưới đây có tiệm cận đứng ?
A. [ y = frac { 1 } { { { x ^ 2 } + 1 } } ] B. [ y = frac { 2 } { { sqrt x } } ] C. [ y = frac { 1 } { { { x ^ 2 } – x + 2 } } ] D [ y = frac { 3 } { { { x ^ 4 } + 1 } } ] Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ?
A. [ y = frac { { { x ^ 2 } – 3 x + 2 } } { { x – 1 } } ] .
B. [ y = frac { { { x ^ 2 } } } { { { x ^ 2 } + 1 } } ] .