Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Rate this post

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

MỤC LỤC

1. Nhắc lại định nghĩa

Kí hiệu ( K ) là khoảng chừng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng chừng. Giả sử hàm số ( y = f left ( x right ) ) xác lập trên ( K ) .

Hàm số (y=fleft(xright)) đồng biến (tăng) trên (K) nếu với mọi cặp (x_1,x_2in K) và (x_1

( x_1 Hàm số (y=fleft(xright)) nghịch biến (giảm) trên (K) nếu với mọi cặp (x_1,x_2in K) và (x_1fleft(x_2right)), tức là

Bạn đang đọc: Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

( x_1 f left ( x_2 right ) ) .

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên (K) được gọi chung là hàm số đơn điệu trên (K).

Nhận xét:

a ) ( f left ( x right ) ) đồng biến trên ( K ) ( Leftrightarrow dfrac { f left ( x_2 right ) – f left ( x_1 right ) } { x_2-x_1 } > 0 ), ( forall x_1, x_2 in K ), ( ( x_1 ne x_2 ) ) ; ( f left ( x right ) ) nghịch biến trên ( K ) ( Leftrightarrow dfrac { f left ( x_2 right ) – f left ( x_1 right ) } { x_2-x_1 } b) Nếu hàm số đồng biến trên (K) thì đồ thị đi lên từ trái sang phải ;

hinh1_1656169412-1890384

Nếu hàm số nghịch biến trên (K) thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

hinh2_1656169494-8506376

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí:

Cho hàm số ( y = f left ( x right ) ) có đạo hàm trên ( K ) .a ) Nếu ( f ‘ left ( x right ) > 0 ) với mọi ( x in K ) thì hàm số ( f left ( x right ) ) đồng biến trên ( K ) .b ) Nếu ( f ‘ left ( x right )

Chú ý: Nếu (f’left(xright)=0), (forall xin K) thì (fleft(xright)) không đổi trên (K).

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

a ) ( y = 2 x ^ 4 + 1 ) ;b ) ( y = sin x ) trên khoảng chừng ( left ( 0 ; 2 pi right ) ) .Giải :a ) Hàm số đã cho xác lập trên ( R ) .Ta có ( y ‘ = 8 x ^ 3 ). Bảng biến thiên :

hinh3_1656169838-6807579

Vậy hàm số ( y = 2 x ^ 4 + 1 ) nghịch biến trên khoảng chừng ( left ( – infty ; 0 right ) ), đồng biến trên khoảng chừng ( left ( 0 ; + infty right ) ) .b ) Xét trên khoảng chừng ( left ( 0 ; 2 pi right ) ) ta có ( y ‘ = cos x ). Bảng biến thiên :

hinh4_1656169971-7252218

Vậy hàm số ( y = sin x ) đồng biến trên những khoảng chừng ( left ( 0 ; dfrac { pi } { 2 } right ) ) và ( left ( dfrac { 3 pi } { 2 } ; 2 pi right ) ), nghịch biến trên khoảng chừng ( left ( dfrac { pi } { 2 } ; dfrac { 3 pi } { 2 } right ) ) .

Chú ý: Ta có định lí mở rộng sau đây:

Giả sử hàm số (y=fleft(xright)) có đạo hàm trên (K). Nếu (f’left(xright)ge0) ((f’left(xright)le0)), (forall xin K) và (f’left(xright)=0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (K).

Xem thêm: Phân biệt 8 biện pháp tu từ đã học và cách ghi nhớ

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số (y=2x^3+6x^2+6x-7).

Giải :Hàm số đã cho xác lập với mọi ( x in R ) .Ta có ( y ‘ = 6 x ^ 2 + 12 x + 6 = 6 left ( x + 1 right ) ^ 2 )Do đó ( y ‘ = 0 Leftrightarrow x = – 1 ) và ( y ‘ > 0 ) với mọi ( x ne-1 )Theo định lí lan rộng ra, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến .

II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Quy tắc

1. Tìm tập xác lập .2. Tính đạo hàm ( f ‘ left ( x right ) ). Tìm những điểm ( x_i left ( i = 1,2,3, …, n right ) ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác lập .3. Sắp xếp những điểm ( x_i ) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên .4. Nêu Tóm lại về những khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số .

2. Áp dụng

Ví dụ 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (y=dfrac{1}{3}x^3-dfrac{1}{2}x^2-2x+2).

Giải :Hàm số xác lập với mọi ( x in R ) .Ta có : ( y ‘ = x ^ 2 – x-2 ), ( y ‘ = 0 Leftrightarrow left [ { } begin { matrix } x = – 1 x = 2 end { matrix } right. ). Bảng biến thiên :

hinh5_1656170602-2982350

Vậy hàm số đồng biến trên những khoảng chừng ( left ( – infty ; – 1 right ) ) và ( left ( 2 ; + infty right ) ), nghịch biến trên khoảng chừng ( left ( – 1 ; 2 right ) ) .

Ví dụ 4: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số (y=dfrac{x-1}{x+1}).

Giải :Hàm số xác lập với mọi ( x ne-1 ) .Ta có : ( y ‘ = dfrac { left ( x + 1 right ) – left ( x-1 right ) } { left ( x + 1 right ) ^ 2 } = dfrac { 2 } { left ( x + 1 right ) ^ 2 } ). ( y ‘ ) không xác lập tại ( x = – 1 ) .Bảng biến thiên :

hinh6_1656170835-2251889